중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계

한 원 또는 반지름이 같은 원(합동인 원)에서 중심각의 크기가 같은 경우와 중심각의 크기가 2배, 3배, ··· 변할 때,

중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계에 대해 정리해 보도록 해요.

 

  중심각의 크기가 같은 경우

 

 

두 부채꼴의 중심각의 크기가 같을 때, 한쪽의 부채꼴을 회전시키면 서로 포개어질 수밖에 없어요.

따라서 두 부채꼴은 합동이 되며, 합동인 두 도형은 길이와 넓이가 같기 때문에 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 같습니다.

 

현의 길이에 대해 생각해보면,

 

 

두 반지름과 현으로 둘러싸인 삼각형 OAB와 삼각형 OCD에 대해

 

$\overline{OA}=\overline{OC}$  (반지름)

$\overline{OB}=\overline{OD}$  (반지름)
$\angle{AOB}=\angle{COD}$  (중심각)

이므로 두 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같기때문에 두 삼각형은 SAS합동이 됩니다.

따라서 현의 길이는 같습니다.

 

정리하면,

① 중심각의 크기가 같으면 → 호의 길이는 같다.

② 중심각의 크기가 같으면 → 부채꼴의 넓이는 같다.

③ 중심각의 크기가 같으면 → 현의 길이는 같다. (SAS합동)

 

<참고>

 

거꾸로 생각해보면,

즉 호의 길이가 같거나 또는 부채꼴의 넓이가 같을 때, 한쪽의 부채꼴을 회전시키면 두 부채꼴이 포개어질 수밖에 없으므로 중심각의 크기는 같습니다.

 

 

 

마찬가지로 현의 길이가 같을 때, 중심각의 크기에 대해 생각해보면

 

 

삼각형 OAB와 삼각형 OCD에 대해

 

$\overline{OA}=\overline{OC}$  (반지름)

$\overline{OB}=\overline{OD}$  (반지름)

$\overline{AB}=\overline{CD}$  (현)

이므로 세 대응변의 길이가 각각 같기 때문에 두 삼각형은 SSS합동이 됩니다.

따라서 중심각의 크기는 같습니다.

 

정리하면,

① 호의 길이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다.

② 부채꼴의 넓이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다

③ 현의 길이가 같으면 → 중심각의 크기는 같다. (SSS합동)

 

  중심각의 크기가 2배, 3배, ··· 인 경우

 

 

위의 그림에서처럼 중심각의 크기가 같은 부채꼴을 2개, 3개, ··· 이어 붙였을 때, 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 2배, 3배, ··· 변한다는 것을 알 수 있어요.

 

함수 단원에서 x의 값이 2배, 3배, ··· 변할 때 y의 값이 2배, 3배, ··· 변하는 경우에 y는 x에 정비례(또는 x와 y는 정비례)한다고 했어요.

 

[이전 글 보기] - 정비례 ( 뜻, 식, 그래프 )

 

그렇다면 중심각의 크기를 x, 호의 길이를 y라고 한다면,

x인 중심각의 크기가 2배, 3배, ···변할 때 y인 호의 길이가 2배, 3배, ··· 변하므로 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다고 할 수 있겠죠?

마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례한다고 할 수 있습니다.

 

예 ) 호 AB의 길이가 5cm일 때, 호 CD의 길이는?

 

 

우선 구하려는 호 CD의 길이를 xcm라고 놓고, 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 비례식을 세우면 됩니다.

 

부채꼴 AOB의 중심각의 크기는 $40^ { \circ }$, 호의 길이는 5cm

부채꼴 COD의 중심각의 크기는 $80^ { \circ }$, 호의 길이는 xcm

 

$40^ { \circ } : 80^ { \circ } = 5cm : xcm$

 

중심각의 크기의 비가 1 : 2 이므로 호 CD의 길이는 10cm임을 바로 판단할 수도 있고,

외항의 곱과 내항의 곱이 같다는 성질을 적용해 식을 세워 40x=400 , x=10이라고 구할 수도 있어요.

 

 

 

 

이제 현의 길이가 중심각의 크기에 정비례하는지 알아보도록 해요.

 

 

현의 길이가 중심각의 크기에 정비례한다면, 중심각의 크기가 2배일 때 현의 길이도 2배가 되어야겠죠?

즉 ∠AOC가∠AOB의 2배 일 때, 현 AC의 길이가 현 AB의 길이에 2배가 되는지 알아보도록 해요.

 

ⓐ ∠AOC가 ∠AOB의 2배이므로 ∠AOB=∠BOC 이에요.

중심각의 크기가 같을 때 두 현의 길이는 같기 때문에 현 AB와 현 BC는 같아요.

즉 $\overline{AB}=\overline{BC}$ 입니다.

 

ⓑ 현 AC와 현 AB는 삼각형 ABC의 변이예요.

삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이를 더한 것보다 작다는 성질을 적용한다면,

$\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}$ 입니다.

 

ⓐ, ⓑ에 의하여 

$\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}$

$=\overline{AB}+\overline{AB}$

$=2×\overline{AB}$

이므로 현 AC의 길이는 현 AB의 길이에 2배가 되지 않습니다.

 

정리하면,

① 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다.

② 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다.

③ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.