' 다음 □에 들어갈 정수를 쓰세요.'라는 물음에 정수의 곱셈을 배우지 않았더라도 어떤 답을 적을 수 있을까요?
우선 양의정수와 자연수는 같기 때문에
(+2)×(+3)=2×3=6=+6
(+2)×(+2)=2×2=4=+4
(+2)×(+1)=2×1=2=+2
이므로 위의 식의 □에 차례대로 +6, +4, +2라고 쓸 수 있어요.
즉 (양수)×(양수)=＋(두 수의 절댓값의 곱)이라고 할 수 있습니다.
이제 나머지 □를 구해볼까요?
위의 식을 보면 (+2)에 곱하는 수가 1씩 작아질 때마다 결과는 2씩 작아지기 때문에
(+2)×(-1)=-2
(+2)×(-2)=-4
(+2)×(-3)=-6
이므로 □에 -2, -4, -6이라고 적을 수 있습니다.
따라서 (양수)×(음수)=－(두 수의 절댓값의 곱)이라고 할 수 있습니다.
또한 2×3=2+2+2이므로
(-2)×3=(-2)+(-2)+(-2)이라고 할 수 있어요.
즉 (-2)×3=-6 이므로
(음수)×(양수)=－(두 수의 절댓값의 곱)이라고 할 수 있습니다.
이제 음수 곱하기 음수에 대해 알아보도록 해요.
위의 식에서 △에 들어갈 정수는 무엇일까요?
(-2)에 곱하는 수가 1씩 작아질 때마다 결과는 2씩 커지기 때문에
(-2)×(-1)=+2
(-2)×(-2)=+4
(-2)×(-3)=+6
이므로 △에 들어갈 정수는 +2, +4, +6입니다.
즉 (음수)×(음수)=＋(두 수의 절댓값의 곱)이라고 할 수 있습니다.
정리해보면,
(양수)×(양수)=＋(두 수의 절댓값의 곱)
(음수)×(음수)=＋(두 수의 절댓값의 곱)
(양수)×(음수)=－(두 수의 절댓값의 곱)
(음수)×(양수)=－(두 수의 절댓값의 곱)
이므로 부호가 같으면 두 수의 절댓값의 곱에 " + "를 붙이며 부호가 다르면 두 수의 절댓값의 곱에 " - "를 붙입니다.
초등학교 때 곱셈과 나눗셈 사이에는 2×4=8 이면, 8÷4=2 라는 관계가 성립한다는 것을 배웠어요.
마찬가지로 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈도 이와 같은 관계가 성립합니다.
(+2)×(+4)=(+8) → (+8)÷(+4)=(+2)
(+2)×(-4)=(-8) → (-8)÷(-4)=(+2)
(-2)×(+4)=(-8) → (-8)÷(+4)=(-2)
(-2)×(-4)=(+8) → (+8)÷(-4)=(-2)
이므로 부호가 같은 나눗셈을 할 때는 두 수의 절댓값의 나눗셈의 값에 "+ "를 붙이며 부호가 다르면 두 수의 절댓값의 나눗셈의 값에 " - "를 붙입니다.
또한 나눗셈은 역수를 이용하여 곱셈으로 고쳐 계산할 수도 있어요.
<참고>
두 수를 곱해서 1이 될 때, 두 수는 서로의 역수라고 합니다.
혼합계산
이제 유리수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 경우 어떻게 계산해야 하는지 알아볼게요.
초등학교 때와 마찬가지로 괄호안, 곱셈과 나눗셈를 순서대로, 덧셈과 뺄셈을 순서대로 계산하는 것과 같아요. 여기서 맨 앞에 거듭제곱이 추가된거 뿐입니다.
다시 한번 정리하면 맨 처음은 거듭제곱이 있으면 거듭제곱을 먼저 계산하고,
그다음 괄호안을 계산, 그다음 곱셈과 나눗셈을 순서대로, 마지막이 덧셈과 뺄셈을 순서대로 계산합니다.
또한 괄호의 순서는 소괄호 ( ), 중괄호 { }, 대괄호 [ ] 입니다.
예를 통하여 좀 더 알아보도록 해요.
예 1)
예 2) 소괄호, 중괄호, 대괄호, 거듭제곱, 곱셈, 나눗셈, 덧셈, 뺄셈이 모두 포함된 예를 풀어보도록 할게요.
위의 예처럼 괄호가 여러 개 있는식은 괄호 안을 하나의 대상으로 보세요.
간단히 얘기해서 괄호 안을 또 하나의 식으로 보고 괄호 안에서도 계산 순서를 적용해야합니다.
① 거듭제곱 계산
② 소괄호 계산 ( 뺄셈 )
③ 중괄호 계산 ( 곱셈 → 덧셈 )
④ 대괄호 계산 ( 덧셈 )
⑤ 나눗셈
따라서
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