삼각형의 합동 조건 ( SSS, SAS, ASA )

초등학교 때 배웠던 내용을 떠올려보면,

한 도형의 모양이나 크기를 바꾸지 않고 다른 도형에 완전히 포개어 겹쳐지면 두 도형은 합동이며,

여기서 겹쳐지는 꼭짓점을 대응점, 겹쳐지는 변을 대응변, 겹쳐지는 각을 대응각이라고 했어요.

 

따라서 두 삼각형이 합동이면 세 대응변과 세 대응각이 각각 같고,

역으로 두 삼각형의 세 대응변과 세 대응각이 각각 같다면 합동이라고 할 수 있습니다.

 

그렇다면 꼭 3개의 변과 3개의 각을 다 확인해서 합동을 판단해야 할까요?

자와 컴퍼스로 삼각형을 작도했을 때를 생각해보세요.

세 변의 길이가 주어진 경우(단, 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 더한 것보다 작아야 함),

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우,

한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우에 대해 작도되는 삼각형은 단 하나뿐이었어요.

그러므로 세 변의 길이가 주어졌을 때,

주어진 변으로 작도된 두 삼각형이 있으면 결국 두 삼각형은 완전히 포개어질 수 밖에 없습니다.

즉 두 삼각형의 세 대응변의 길이가 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이 될 수 밖에 없어요.

마찬가지로 나머지 두가지 경우에 대해서도 성립합니다.

쉽게 얘기해서, 삼각형이 하나로 정해지는 조건(삼각형의 결정 조건)이 삼각형의 합동 조건이라고 생각해도 되므로 3개의 변과 3개의 각을 모두 확인하지 않아도 됩니다.

 

이제 삼각형의 합동 조건을 정리해보고, 관련된 예를 풀어보도록 해요.

 

  SSS, SAS, ASA 

 

1) 세 대응변의 길이가 각각 같은 경우 ( SSS )

 

2) 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같은 경우 ( SAS )

3) 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같은 경우 ( ASA )

* △ABC와 △DEF가 합동일 때 기호 ≡를 사용하여 △ABC≡△DEF 와 같이 나타냅니다.

 

예) △ABC와 △CDE는 정삼각형일 때, ∠x의 크기를 구해봅시다.

①

예제의 조건을 그림에 다 표시합니다.

즉, 정삼각형은 세 변의 길이는 같고, 세 각은 모두 60도로 같기 때문에 이를 그림에 표현합니다.

②

구하려는 것은 ∠x입니다.

평각이 180도 임을 이용하기 위해 ∠y를 표시합니다.

∠y를 구하면 이므로 ∠x를 구할 수 있기 때문입니다.

 

③

보라색 삼각형과 노란색 삼각형이 합동임을 파악합니다.

 

즉, 하늘색 동그라미가 60도 이고, 평각은 180도 이므로입니다.

따라서입니다.

선분 AC와 선분 BC의 길이는 같고, 선분 CD와 선분 CE의 길이는 같습니다.

두 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같기 때문에 △ACD≡△BCE (SAS) 입니다.

④ 

△ACD≡△BCE이므로 대응각에 각각 △, □ 표시를 하면,

삼각형 내각의 합은 180도이므로 △와□의 합은 60도입니다. 

삼각형 △BFD에서 △와 □와 y의 합은 180도이므로 ∠y는 120도입니다.

따라서입니다.

⑤ 기호를 사용하여 정리하면,

∠BFD=∠y라 하자.

△ACD와 △BCE에서

이고,이므로 △ACD≡△BCE이다.

∠CAD=∠CBE=∠a, ∠CDA=∠CEB=∠b이라 놓으면,

△ACD에서이므로이다.

따라서 △BFD에서이므로,

이다.