유한소수, 무한소수, 순환소수

소수는 0.3, 0.12, 1.75 등과 같이 소수점 아래의 수가 끝이 있는 소수와

 

0.333 ···, 0.2474747 ···, 3.141592 ··· 등과 같이 소수점 아래의 수가 끝나지 않는 소수가 있습니다.

 

수학적인 용어로 전자는 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나니까 유한소수,

 

후자는 소수점 아래의 0이 아닌 숫자가 무한 번 나타나니까 무한소수라고 해요.

 

이제 유한소수와 0.333 ···, 0.2474747 ··· 등과 같이 소수점 아래의 숫자가 반복되는 무한소수에 대해 알아보도록 해요.

[ 3.141592 ··· 와 같이 소수점 아래의 숫자가 반복되지 않는 무한소수(무리수)는 중학교 3학년 과정에서 배우게 됩니다. ]

 

초등학교 때, 분수를 소수로 바꾸는 경우에 분자를 분모로 나눠서 구할 수 있었어요.

 

예를 들어

처럼 나타낼 수 있었습니다.

 

즉 을 소수로 나타내면 유한소수, 를 소수로 나타내면 무한소수라고 할 수 있겠죠?

 

그런데 위와 같이 분자를 분모로 직접 나눠보지 않고도 분수의 특징에 따라 유한소수인지 무한소수인지 판단할 수 있습니다.

 

  유한소수로 나타낼 수 있는 분수의 특징

 

유한소수 0.4, 0.15, 0.225 는 와 같이 분모를 10, 100, 1000 으로 나타낼 수 있어요.

 

이므로 10, 100, 1000 의 소인수는 2와 5뿐이고,

따라서 분수를 약분해서 기약분수로 나타냈을 때,

이므로 기약분수의 분모의 소인수는 2 또는 5뿐이라는 것도 알 수 있습니다.

 

그렇다면, 거꾸로 생각해서 어떤 기약분수의 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이라면, 적당한 수를 곱해서 분모를 10, 100, 1000, ··· 으로 만들 수 있겠죠?

 

즉 어떤 분수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모를 소인수분해해서 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 분모와 분자에 적당한 수를 곱해서 분모를 10, 100, 1000, ··· 인 10의 거듭제곱인 수로 나타낼 수 있으므로 이러한 분수는 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

(참고 : 2 또는 5뿐이라는 의미는 2만 있는 경우, 5만 있는 경우, 2와 5가 모두 있는 경우로 즉, 3가지 경우를 의미합니다.)

 

 

자세히 식을 풀어본다면,

 

① 기약분수 의 분모의 소인수가 5뿐이므로 분모와 분자에 모두 2를 곱해서 으로 나타낼 수 있으므로 는 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

② 기약분수 의 분모를 소인수분해하면 이므로 분모의 소인수는 2, 5뿐이고 분모와 분자에 모두 5를 곱해서 으로 나타낼 수 있으므로 은 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

③ 기약분수 의 분모를 소인수분해하면 이므로 분모의 소인수는 2, 5뿐이고 분모와 분자에 모두 을 곱해서 으로 나타낼 수 있으므로 는 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

  순환소수로 나타낼 수 있는 분수의 특징

 

0.333 ··· , 0.4545 ··· 처럼 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 한 숫자 또는 몇 개의 숫자가 반복되는 무한소수를 순환소수라 하고,

 

이때 반복되는 숫자를 순환마디라고 합니다. 0.333 ··· 에서 순환마디는 3이고, 0.4545 ··· 에서 순환마디는 45라고 할 수 있겠죠.

 

또한 순환소수는 그 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 으로 간단히 나타내기도 합니다.

 

특히 순환마디는 소수점 아래에서 처음으로 반복되는 부분이므로 으로 나타내야 하며, 으로 나타내서는 안됩니다.

 

 

이제 분모의 소인수가 2 또는 5 이외의 소인수가 있는 분수를 소수로 나타내보도록 해요.

 

예 ) 를 소수로 나타내기.

 

 

위의 그림과 같이 각 계산 단계에서 나머지는

나누는 수 7보다 작은 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이므로 적어도 7번째 안에는 같은 나머지가 나올 수 밖에 없습니다.

 

따라서 그 이후부터는 앞의 계산 단계가 반복되기 때문에 같은 몫이 반복됩니다.

위의 예는 285714가 반복되므로 6개의 순환마디가 생기게 돼서 입니다.

 

즉 기약분수의 분모의 소인수가 2 또는 5 이외의 소인수가 있는 분수는 무한소수로 나타낼 수 있으며, 그 무한소수는 순환소수입니다.

 

따라서 분수를 소수로 나타내었을 때 유한소수인지 순환소수인지 판단 방법을 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

오개념 체크)

 

주어진 분수의 분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 보인다고, 바로 순환소수로 판단하지 않도록 하세요.

 

예를 들어 이므로 분모에 소인수 3이 있으므로 순환소수라고 판단해서는 안됩니다.

 

주어진 분수가 기약분수가 아닌 경우는 꼭 기약분수로 고친 후 소인수를 확인해야해요.

 

① 주어진 분수를 약분해서 기약분수로 만들기. → 을 약분해서 로 고친 후,

 

② 분모를 소인수분해하기. → 분모를 소인수분해하면  이므로

 

③ 분모의 소인수가 2 또는 5뿐인 경우는 유한소수. → 소인수가 2와 5뿐이고, 따라서 은 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

  유리수의 소수 표현

 

이처럼 정수가 아닌 유리수는 유한소수와 순환소수로 표현할 수 있습니다.