다각형이란, 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 의미해요.
예를 들어 삼각형(선분 3개), 사각형(선분 4개), 오각형(선분 5개), 육각형(선분 6개) 등을 다각형이라고 합니다.
또한 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라고 합니다.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수
다각형의 대각선 개수를 구하기 전에
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수에 대해 알아보도록 해요.
(1) 삼각형
삼각형에서 이웃하지 않은 두 꼭지점은 없기 때문에 대각선은 존재하지 않아요.
(2) 사각형
꼭짓점 A에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 살펴보도록 해요.
대각선은 이웃하지 않은 꼭짓점과 꼭짓점을 이은 선분이기 때문에
A와 이웃하지 않은 꼭짓점을 찾으면 되겠죠?
자기 자신인 A와 양옆의 꼭짓점 B와 D를 제외한다면 이웃하지 않은 꼭짓점은 C뿐입니다.
따라서 사각형의 꼭짓점 A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분이므로
대각선의 개수는 4-3=1 입니다.
여기서 4가 의미하는 것은 꼭짓점의 개수이고
3이 의미하는 것은 자기자신 1개와 양옆에 꼭짓점 2개를 더한 것을 의미해요.
(3) 오각형
꼭짓점 A와 이웃하지 않은 꼭짓점은
자기 자신인 A와 양옆의 꼭짓점 B와 E를 제외한 나머지 꼭짓점 C와 D입니다.
즉 오각형의 꼭짓점A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분 과 A와 D를 이은 선분이므로
대각선의 개수는 5-3=2 입니다.
마찬가지로 5가 의미하는 것은 꼭짓점의 개수이고
3이 의미하는 것은 자기 자신 1개와 양옆의 꼭지점 2개를 더한 것을 의미합니다.
(4) n각형
일반화한다면 n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n-3입니다.
n이 의미하는 것은 꼭짓점의 개수,
3이 의미하는 것은 자기 자신 1개와 양옆의 꼭짓점 2개를 더한 것을 의미하겠죠?
다각형의 대각선 개수 구하는 방법
(1) 삼각형
대각선은 존재하지 않습니다.
(2) 사각형
각각의 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 생각해보면,
A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분이므로 1개,
B에서 그을 수 있는 대각선은 B와 D를 이은 선분이므로 1개,
C에서 그을 수 있는 대각선은 C와 A를 이은 선분이므로 1개,
D에서 그을 수 있는 대각선은 D와 B를 이은 선분이므로 1개입니다.
즉 꼭짓점은 4개이고 각각의 꼭짓점에 대해서 4-3=1개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면
(4-3)+(4-3)+(4-3)+(4-3)
=4×(4-3)=4 입니다.
그런데 A와 C를 이은 선분과 C와 A를 이은 선분은 같고, 마찬가지로 B와 D를 이은 선분과 D와 B를 이은 선분은 같기 때문에 반절이 겹쳐진다는 것을 알 수 있어요.
따라서 중복해서 센 횟수를 제거한다면 사각형의 대각선의 개수는 
(3) 오각형
A에서 그을 수 있는 대각선은 A와 C를 이은 선분과 A와 D를 이은 선분이므로 2개,
B에서 그을 수 있는 대각선은 B와 D를 이은 선분과 B와 E를 이은 선분이므로 2개,
C에서 그을 수 있는 대각선은 C와 A를 이은 선분과 C와 E를 이은 선분이므로 2개,
D에서 그을 수 있는 대각선은 D와 A를 이은 선분과 D와 B를 이은 선분이므로 2개,
E에서 그을 수 있는 대각선은 E와 B를 이은 선분과 E와 C를 이은 선분이므로 2개라는 것을 알 수 있습니다.
마찬가지로 꼭짓점은 5개이고 각각의 꼭짓점에 대해서 5-3=2개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면
(5-3)+(5-3)+(5-3)+(5-3)+(5-3)
= 5×(5-3)=10 이며,
여기에서 중복하여 센 횟수를 제거한다면 
(4) n각형
n각형의 꼭짓점의 개수는 n개,
각각의 꼭짓점에 대해서 n-3개의 대각선이 존재하므로 모두 합하면 (n-3)+(n-3)+ ··· +(n-3)=n(n-3) 이며,
중복하여 센 횟수를 제거하면 
※ 공식
n각형의 대각선의 개수=
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