거듭제곱, 소인수분해 방법, 약수와 약수의 개수 구하기

사칙연산( +, -, ×, ÷ )에서 ×는 같은 수를 여러번 더하는 경우 간단히 나타낼 수 있는 장점이 있습니다.

예를 들어 2를 7번 더하는 경우 2+2+2+2+2+2+2 를 간단히 2×7 로 나타내는 것처럼요.

그럼 2를 7번 곱하는 경우, 즉 2×2×2×2×2×2×2 도 간단히 나타내 볼까요?

 

  거듭제곱, 밑, 지수

 

으로 나타내며 각각 2의 제곱, 2의 세제곱, 2의 네제곱, ··· 이라 읽고

을 2의 거듭제곱이라 합니다.

 

에서 를 거듭제곱의 밑, 

에서 곱하는 개수를 나타내는를 지수라고 해요.

따라서 2를 7번 곱하는 경우 로 나타낼 수 있습니다.

또한 밑이 여러 개인 경우  로 표현합니다.

( *로 나타낼 수도 있지만  밑이 더 작은을 앞에 쓰도록 해요. )

어떤 수의 약수를 찾을 때 작은 수의 약수는 쉽게 찾을 수 있지만, 큰 수에 대해서 약수를 찾는다면 빠뜨리게 되는 경우가 있어요.

예를 들어 10의 약수는 쉽게 찾지만 1000은 약수가 16개이므로 빠뜨릴 수도 있겠죠?

그런데 소인수분해를 이용한다면 큰 수의 약수를 모두 찾을 수 있습니다.

 

  소인수분해 뜻, 방법

 

소인수는 어떤 자연수의 소수인 인수(인수=약수)로 정의합니다.

[이전 글 보기] - 소수, 합성수, 에라토스테네스의 체

 

예 ) 20의 인수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이고 이 중에서 2, 5는 소수이므로 20의 소인수는 2, 5가 됩니다.

36의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이고 이 중에서 2, 3은 소수이므로 36의 소인수는 2, 3이 됩니다.

 

소인수분해는 1보다 큰 자연수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 의미해요.

 

예를 들어 24를 곱으로 나타내면,

24=1×24

24=2×12

24=3×8

24=4×6

24=2×3×4

24=2×2×6

24=2×2×2×3 입니다.

 

그런데 소인수분해는 소인수들만의 곱으로 나타내야므로 24를 소인수분해하면 24=2×2×2×3 라고 할 수 있겠죠?

또한 소인수분해한 결과는 일반적으로 같은 소인수의 곱은 거듭제곱으로 표현하므로

으로 나타낼 수 있습니다.

 

이제 소인수분해하는 방법에 대해 알아보도록 해요.

 

- 소인수분해 방법 -

 

1) 곱셈을 이용하는 방법

2) 나눗셈을 이용하는 방법 - 몫이 소수가 될 때까지 나눗셈을 반복하는 과정입니다.

단, 몫을 쓸 때는 위가 아닌 아래에 쓰면서 찾습니다. (  )

3) 가지치기 방법(수형도를 이용하는 방법)- 나뭇가지 모양을 생각해서 소수가 나올 때까지 가지를 뻗는 방법입니다.

 

 

  소인수분해 이용하여 약수와 약수의 개수 구하기

 

초등학교 때는 어떤 수의 약수를 구할 때, 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수를 찾던지, 곱해서 어떤 수가 되는 곱해진 수들을 찾아 약수를 구했어요.

이제 소인수분해를 이용하여 약수를 모두 찾아보도록 해요.

 

1) 소인수가 한 개인 경우

 

8의 약수는 1, 2, 4, 8 이고, 4와 8를 2의 거듭제곱으로 표현하면, 이므로

8의 약수는 으로 쓸 수 있어요.

 

즉 소인수가 한 개인 의 약수는

1은 모든 수의 약수이므로 1을 쓴 후에, 지수를 1씩 늘려 자기 자신까지 오도록 수를 나열하면 됩니다.()

따라서 의 약수는 (3+1)=4개 라는 것도 알 수 있습니다.

 

예를 들어 의 약수는 이고, 약수의 개수는 (4+1)=5개라고 할 수 있겠죠.

 

정리하면, 어떤 자연수 N이 (p는 소수)의 꼴로 소인수분해 될때, 약수는 이며, 약수의 개수는 (m+1)개입니다.

 

 

2) 소인수가 두 개인 경우

 

36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 이고,

36의 약수 중 이므로

36의 약수는 으로 나타낼 수 있어요.

 

즉 소인수가 두 개인 의 약수는 의 약수과 의 약수중에서 각각 하나씩 골라 서로 곱한 것과 같습니다.

 

 

따라서 의 약수는  (2+1)개, 의 약수는 (2+1)개이기 때문에 36의 약수는 (2+1)×(2+1)=3×3=9개라는 것도 알 수 있습니다.

 

이제 1000에 대하여 약수와 약수의 개수를 구해보도록 해요.

 

➊

수형도를 이용하여 1000을 소인수분해하면입니다.

 

➋의 약수는  이고 

   의 약수는 입니다.

 

➌  

 

각각 하나씩 골라 서로 곱하면 1000의 약수는,

이므로

1, 5, 25, 125, 2, 10, 50, 250, 4, 20, 100, 500, 8, 40, 200, 1000 입니다.

 

➍ 1000의 약수의 개수는 (3+1)×(3+1)=4×4=16 개 입니다.

 

일반화하면, 자연수 N이 ( p, q는 서로 다른 소수)의 꼴로 소인수분해될 때,

의 약수는 으로 ( m+1 )개이고, 의 약수는 으로 ( n+1 )개이므로 자연수 N의 약수는 모두 ( m+1 )×( n+1 ) 개입니다.

 

3) 소인수가 세 개인 경우

 

60의 약수와 약수의 개수를 소인수분해를 이용하여 구해보도록 해요.

 

➊ 곱셈을 이용하여 60을 소인수분해하면,

 

입니다.

 

➋ 의 약수는 이고 의 약수는이며 의 약수는입니다.

 

➌ 

60의 약수는 1, 5, 3, 15, 2, 10, 6, 30, 4, 20, 12, 60입니다.

 

➍ 60의 약수의 개수는 (2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12개 입니다.

 

소인수가 3개 이상인 경우를 생각해서 일반화 한다면,

자연수 N이 (p, q, ··· , r은 서로 다른 소수)의 꼴로 소인수분해될 때,

의 약수는 으로 ( m+1 )개, 의 약수는 으로 ( n+1 )개, ··· , 

의 약수는 으로 ( s+1 )개 이므로

자연수 N의 약수는 모두 ( m+1 )×( n+1 )× ··· ×( s+1 )개 입니다.

 

이처럼 자연수 n을 소인수분해한 후, 수형도나 표를 이용하여 n의 약수를 구할 수 있어요. 이를 통하여 n의 약수를 빠뜨리지 않고 찾을 수 있으며 약수의 개수 또한 쉽게 알 수 있습니다.