결합법칙과 교환법칙 그리고 분배법칙이 성립하는 연산이 헷갈리는 경우가 있죠?
그래서 단 하나의 예로써 8, 4, 2와 사칙연산(
결합법칙, 교환법칙
8+4+2 를 계산할 때,
8과 4를 먼저 더한 후에 2을 더해서 12+2=14 로 계산하는 경우와 4와 2을 먼저 더한 후에 8를 더해서 8+6=14 라고 계산하는 경우가 있어요. 어떻게 계산하던지 계산한 결과는 14입니다.
식으로 나타내면 수학에서는 괄호를 씌우면 먼저 계산한다는 의미이므로 (8+4)+2=8+(4+2) 라고 할 수 있겠죠?
자연스럽게 계산했던 이런 과정을 결합법칙이라고 합니다.
자세히 말하면 덧셈에 대해서 성립하므로 덧셈은 결합법칙이 성립한다고 할 수 있습니다.
또한 8+4 를 계산할 때,
8 더하기 4는 12라고 계산하는 경우와 4 더하기 8은 12라고 계산하는 경우가 있어요. 마찬가지로 계산한 결과는 12로 같습니다. 식으로 표현하면 8+4=4+8 입니다.
즉 덧셈은 교환법칙이 성립한다고 할 수 있습니다.
< 덧셈,
1) 결합법칙이 성립합니다.
2) 교환법칙이 성립합니다.
이제 나머지 연산에 대해서도 결합법칙과 교환법칙이 성립하는지 알아보도록 해요.
마찬가지로 8, 4, 2를 가지고 법칙이 성립되는지 등호 '='의 왼쪽 부분(좌변)과 등호 '='의 오른쪽 부분(우변)을 각각 확인해 볼게요. 등호는 같다는 의미인데 좌변과 우변이 같지 않다면 법칙이 성립되지 않겠죠?
< 뺄셈,
1) 결합법칙이 성립하지 않습니다.
2) 교환법칙이 성립하지 않습니다.
< 곱셈,
1) 결합법칙이 성립합니다.
2) 교환법칙이 성립합니다.
< 나눗셈,
1) 결합법칙이 성립하지 않습니다.
2) 교환법칙이 성립하지 않습니다.
즉 사칙연산(
오개념 체크)
교환법칙은 쉽게 말해서 연산은 그대로 놔두고 수를 교환하는 것입니다.
따라서 위의 식을 자세히 쓰면
이므로 뺄셈이 아니라 덧셈의 교환법칙을 이용한 것입니다.
분배법칙
결합법칙과 교환법칙은 하나의 연산인 반면에 분배법칙은 2개의 연산이 필요해요. 최소 두 명 이상은 있어야 분배한다는 말이 의미가 있겠죠? 그러니 연산도 2개라고 기억하면 됩니다.
분배법칙은 두 개의 연산을 혼동해서 오류를 범하는 경우가 있기때문에 4개의 연산을 모두 이용해서 직접 확인해보도록 할게요. 4개의 연산 중 2개씩 짝을 지어 연산의 성립 여부를 확인하려면 총 12가지의 경우가 필요하죠. 12가지 모두 직접 적용해보도록 하겠습니다.
분배법칙은
이므로 ㉠의 좌변과 우변을 먼저 비교해보고 ㉠의 경우가 성립하는 경우에만 ㉡의 경우까지 확인해 보겠습니다.
좌변의 < 괄호 밖 연산, 괄호 안 연산 >으로 정리해보도록 해요.
1) <
2) <
3) <
4) <
5) <
6) <
7) <
8) <
9) <
10) <
11) <
12) <
<
그런데 분배법칙을 세 수 a, b, c에 대하여 a×(b+c)=(a×b)+(a×c), (a+b)×c=(a×c)+(b×c)라고 해도 되겠죠?
여기서 세 수 a, b, c에 음수를 넣어도 성립한다는 것이므로 뺄셈도 포함된 의미가 됩니다.
왜냐하면 
그래서 분배법칙을 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이라고 합니다.
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