< 등식, 부등식, 좌변, 우변, 양변 >
등호 " ＝ "는 등호를 기준으로 왼쪽과 오른쪽 부분이 같다는 의미,
부등호 " ＜, ＞, ≤, ≥ "는 부등호를 기준으로 왼쪽과 오른쪽 부분을 비교하여 작다, 크다, 작거나 같다, 크거나 같다는 의미를 가집니다.
식에서 등호를 사용한 식을 등식이라고 해요.
예를 들어 1+2=3, (-1)+(-3)=(-4), 3x+1=2x, x+x=2x 등이 있습니다.
그렇다면 부등호를 사용한 식은 부등식이라고 하겠죠?
예를 들어 1＜4, 2x+2＜5, 1≤2, x+2≥3 등은 부등식입니다.
또한 등호나 부등호의 왼쪽에 있는 부분을 좌변, 오른쪽에 있는 부분을 우변이라고 하며 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 합니다.
1+2=3에서 1+2는 좌변, 3은 우변이며 1<4에서 1은 좌변, 4는 우변입니다.
< 방정식, 미지수, 해, 근 >
3x+1=2x의 x에 1을 대입하면 좌변의 값은 4이고 우변의 값은 2이므로 양변의 값은 같지 않죠.
등호는 같다는 의미인데 같지 않으니까 등식 자체는 거짓인 식이 됩니다.
즉 x=1이면 등식 3x+1=2x는 거짓입니다.
그런데 x에 -1을 대입하면 좌변도 -2이고 우변도 -2이므로 양변의 값은 같습니다.
등호의 의미에 맞는 거죠? 따라서 등식은 참인 식이 됩니다.
즉 x=-1이면 등식 3x+1=2x는 참입니다.
이처럼 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 x에 관한 방정식이라고 합니다.
여기서 문자 x를 미지수라 하고, 방정식이 참이 되게 하는 미지수 x의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 합니다.
< 항등식 >
x+x=2x의 x에 1을 대입하면 양변 모두 2이며, 2를 대입하면 양변 모두 4이고, 모든 수를 대입해봐도 양변의 값이 같다는 것을 추측할 수 있습니다.
이처럼 미지수 x에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식을 x에 관한 항등식이라고 합니다.
항등식을 찾는 일반적인 방법은 x+x=2x를 양변 모두 간단히 해서 2x=2x로 만드는 것처럼 주어진 식의 좌변과 우변을 각각 간단히 정리해서 똑같은 식으로 만드는 것입니다.
좀 더 예를 살펴볼게요.
예 1) 2x-2=2(x-1)의 우변에 분배법칙을 적용하여 간단히 하면 우변도 좌변과 똑같은 식 2x-2가 되므로 항등식이 맞습니다.
예 2) 3(x-1)=x+3+2(x-3)의 좌변 3(x-1)에 분배법칙을 적용하면 3x-3이고, 우변 x+3+2(x-3)은 분배법칙 적용 후 동류항끼리 묶어 간단히 하면 x+3+2(x-3)=x+3+2x-6=3x-3이므로 양변의 식이 같기 때문에 항등식이 맞습니다.
< 등식의 성질, 이항 >
이제 방정식의 기본이 되는 등식의 성질과 이항에 대해서 정리해 보겠습니다.
등식의 성질을 간단히 설명하면, 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도( 0은 제외) 등식은 성립한다는 것입니다.
예를 들어 1+2=3입니다.
양변에 2를 더하면 (1+2)+2=3+2이므로 양변의 식을 계산하면 5=5이므로 등식은 성립합니다.
양변에 2를 빼면 (1+2)-2=3-2이므로 양변의 식을 계산하면 1=1이므로 등식은 성립합니다.
또 양변에 2를 곱하면 (1+2)×2=3×2이고 계산하면 6=6이므로 등식은 성립하며,
양변에 2를 나누면 (1+2)÷2=3÷2이므로 
이러한 성질을 문자로 써서 나타내면,
(1) a=b 이면 a+c=b+c ,
(2) a=b 이면 a-c=b-c ,
(3) a=b 이면 ac=bc ,
(4) a=b 이면 
(4)에서 0으로 나눌 수 없다는 것만 주의하면 됩니다.
또한 등식의 성질은 방정식의 해를 구하는 수단이 됩니다.
예를 들어 3x-40=20의 해를 구하려면 x의 값에 일일이 수를 대입하는 것보다 등식의 성질을 이용하는 것이 효율적입니다.
등식의 성질 (1)을 적용해서 양변에 40을 더하면 3x-40+40=20+40 , 3x=60이고, (4)를 적용해서 양변을 3으로 나누면 x=20이 되므로 해를 쉽게 찾을 수 있습니다.
또 다른 예로 x-8=16의 해는 등식의 성질 (1)을 적용해서 양변에 8을 더해서 구할 수 있습니다.
즉 x-8+8=16+8, x=24입니다.
위의 등식의 성질 (1)을 이용한 과정을 살펴보면 양변에 8을 더하면서 좌변의 -8과 상쇄된다는 것을 알 수 있어요.
이는 좌변에 있는 -8이 우변으로 이동해서 부호가 바뀌어 +8이 되었다고 생각할 수 있습니다.
이처럼 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꿔 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 하며, 이항은 등식의 성질 (1)과 (2)를 이용하여 계산하는 과정에서 생긴 결과라는 것을 알 수 있습니다.
댓글