반비례 ( 뜻, 식, 그래프 )

x의 값이 2배, 3배, 4배, ··· 로 변함에 따라 y의 값도 2배, 3배, 4배, ··· 로 변할 때 x와 y는 정비례한다고 정의했어요.

또한 식으로로 나타냈으며, x에 대한 y의 일정한 비율이 a의 값이었습니다.

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반비례의 개념을 학습할 때는 정비례와의 차이점을 생각해보세요.

위의 표를 보면,

x의 값이 1의 2배, 3배, 4배로 변함에 따라 y의 값은 24의배,배,배로 변한다는 것을 알 수 있습니다.

또한이므로 이를 식으로 나타내면  또는 x는 0이 아니므로 양변을 x로 나누어로 쓸 수 있습니다.

이처럼 x의 값이 2배, 3배, 4배, ··· 로 변함에 따라 y의 값은배,배,배, ··· 로 변하는 관계가 있으면 x와 y는 반비례(또는 y는 x에 반비례)한다고 하고, 식으로는 로 나타냅니다.

특히 x와 y가 반비례하면 x와 y의 값은 변하더라도 x와 y의 곱은 일정하며, 여기서 일정한 값은의 a의 값입니다.

아래의 표에서 x와 y의 반비례 관계를 판단하고, 반비례하는 경우에는 식과 그래프로 나타내볼게요.

 

예 1)

x가 2에서 6으로 3배가 될 때, y가 24에서 6으로 배가 되므로 x와 y는 반비례하지 않아요. 

또한 이므로 x와 y의 곱은 일정하지 않습니다.

 

예 2)

x의 값이 2의 2배, 3배, 4배, 5배로 변함에 따라 y의 값은 6의배,배,배,배로 변하기 때문에 x와 y는 반비례합니다. 

x와 y의 곱은 이므로 식으로 나타내면 입니다.

그래프를 그려보면, 왼쪽 그림에서처럼 순서쌍을 좌표로 하는 점을 찍어 나타낼 수 있습니다.

x의 값을 확장시켜 원점을 제외한 수 전체로 생각한다면 오른쪽 그림처럼 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선이 됩니다.

즉 인 그래프는,

1) 좌표축에 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선입니다.

2) 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선입니다.

3) x<0인 x에 대하여 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소합니다.

   x>0인 x에 대하여 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소합니다.

4) a의 값이 작을수록 원점에 가깝습니다.

예 3)

x의 값이 1의 2배, 3배, 4배, 5배로 변함에 따라 y의 값은 -12의배,배,배,배로 변하기 때문에 x와 y는 반비례 합니다. 

x와 y의 곱은 이므로 식으로 나타내면입니다.

그래프를 그려보면, 왼쪽 그림에서처럼 순서쌍을 좌표로 하는 점을 찍어 나타낼 수 있습니다.

x의 값을 확장시켜 원점을 제외한 수 전체로 생각한다면 오른쪽 그림처럼 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선이 됩니다.

 

즉인 그래프는,

1) 좌표축에 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선입니다.

2) 제2사분면과 제4사분면을 지나는 곡선입니다.

3) x<0인 x에 대하여 x의 값이 증가할 때 y의 값은 증가합니다.

   x>0인 x에 대하여 x의 값이 증가할 때 y의 값은 증가합니다.

4) a의 절댓값이 작을수록 원점에 가깝습니다.

 

오개념 체크)

①  는 반비례가 아닌 정비례 식입니다.

분수꼴이 있기 때문에 반비례 식으로 잘못 판단할 때가 있는데,  이므로 정비례 관계식 꼴이 됩니다.

참고로 x가 분모에 있는 가 반비례의 식이 됩니다.

② x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소하면, x와 y는 반비례 관계라고 생각하는 경우가 있어요.

 

위의 예 1)은 x의 값이 증가할 때, y의 값이 감소하지만 반비례 관계가 아니에요.

또 다른 예 y=-x는 감소함수이지만,

x가 1일 때 y=-1이고, x=2일 때 y는 -2이기 때문에 x의 값이 1에서 2로 2배 변할 때 y의 값은 -1에서 -2로 변하기 때문에 배 변하지 않아서 반비례 관계가 아니에요. 참고로 x와 y는 정비례합니다.

③ 반비례의 정의에서 y의 값이 배, 배, ··· 변한다는 것을 배, 배, ··· 감소한다고 착각해서

y의 값이 증가하는 경우에 x와 y는 반비례 관계가 될 수 없다고 잘못 판단할 때가 있어요.

정비례와 마찬가지로 음수의 곱셈을 생각하지 않기 때문이죠.

-6를배 하면 -3, -6을배 하면 -2이죠. -3과 -2를 비교해 보면 -3보다 -2가 크기 때문에배 한 수 보다배 한 수가 더 클 수 있다는 것도 생각해야해요.

즉 예 3)에서처럼 반비례의 정의를 만족한다면, y의 값이 증가하는 경우도 반비례 관계가 될 수 있습니다.

따라서 반비례 관계는 감소한다, 증가한다는 것으로 판단할 수 없습니다.