맞꼭지각은 서로 다른 두 직선이 만날 때 생기는 교각 중에 마주 보는 두 각으로,
두 직선이 만날 때 총 2쌍의 맞꼭지각이 생긴다는 것을 알았습니다.
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이제 직선의 개수를 늘렸을 때, 맞꼭지각이 몇 쌍이 생기는지 알아보도록 해요.
예) 서로 다른 3개의 직선이 한 점에서 만나는 경우
서로 다른 두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각이 생기므로 위의 직선 1, 2, 3 중에 한 번에 두 개의 직선을 택하면,
직선 1과 2, 직선 1과 3, 직선 2와 3을 택할 수 있으므로 맞꼭지각이 생기는 경우는 총 3가지입니다.
[참고: 직선 □와 △, 직선 △와 □은 같기 때문에 한 가지의 경우만 생각하면 됩니다.
예를 들어 직선 2와 1은 직선 1과 2를 택하는 경우와 같으므로 직선 2와 1을 택하는 경우는 생각하지 않아도 됩니다.]
따라서 맞꼭지각은 직선 1과 2에서 2쌍, 직선 1과 3에서 2쌍, 직선 2와 3에서 2쌍이므로
서로 다른 3개의 직선이 한 점에서 만날 때는 2+2+2=2×3=6쌍의 맞꼭지각이 생깁니다.
이제 두 개의 직선을 택했을 때 맞꼭지각도 모두 구해봅시다.
( 직선의 개수가 많아 맞꼭지각을 쉽게 찾을 수 없을 때는, 교점 O를 기준으로 반대 되는 점을 찾아보세요.
예를 들어 직선 1과 3에서 ∠AOC의 맞꼭지각을 찾을 때,
점 A의 반대점은 점D, 점 C의 반대점 점 F 이므로 ∠DOF 입니다. )
㉠ 직선 1과 2 : ∠AOB와 ∠DOE, ∠AOE와 ∠DOE
㉡ 직선 1과 3 : ∠AOC와 ∠DOF, ∠COD와 ∠FOA
㉢ 직선 2와 3 : ∠BOC와 ∠EOF, ∠BOF와 ∠EOC
예) 서로 다른 4개의 직선이 한 점에서 만나는 경우
직선 1, 2, 3, 4중에 서로 다른 직선을 두 개씩 택해봅시다.
즉, 직선 1과 2, 직선 1과 3, 직선 1과 4, 직선 2와 3, 직선 2와 4, 직선 3과 4를 택할 수 있으므로 맞꼭지각이 생기는 경우는 총 6가지입니다.
각각의 경우에 2쌍의 맞꼭지각이 생기므로 2+2+2+2+2+2=2×6=12쌍입니다.
두 개의 직선에 의해 생기는 맞꼭지각도 모두 구해봅시다.
㉠ 직선 1과 2 : ∠AOB와 ∠EOF, ∠AOF와 ∠EOB
㉡ 직선 1과 3 : ∠AOC와 ∠EOG, ∠AOG와 ∠EOC
㉢ 직선 1과 4 : ∠AOD와 ∠EOH, ∠AOH와 ∠EOD
㉣ 직선 2와 3 : ∠BOC와 ∠FOG, ∠BOG와 ∠FOC
㉤ 직선 2와 4 : ∠BOD와 ∠FOH, ∠BOH와 ∠FOD
㉥ 직선 3과 4 : ∠COD와 ∠GOH, ∠COH와 ∠GOD
직선의 개수가 많아져서 두 개의 직선을 택하는 경우가 헷갈릴 때는,
직선을 한 번에 두 개씩 선택하는 것을 첫 번째 직선과 두 번째 직선으로 나눠서 선택한다고 생각해보세요.
단, 직선 □와 △, 직선 △와 □는 같다는 것을 생각하고 택해야 합니다.
예를 들어 첫 번째로 직선 1을 선택하면, 두 번째로는 직선 2, 3, 4 직선을 택할 수 있고,
첫 번째로 직선 2를 선택하면, 두 번째로는 직선 1을 선택하면 앞에서 직선 1과 2를 선택했으므로 1을 선택할 필요없습니다. 바로 직선 3과 4를 택할 수 있는 거죠.
그러므로 첫 번째로 직선 3을 택하는 경우, 두 번째로 택할 수 있는 직선은 직선 4뿐입니다.
위와 같이 두 개의 직선을 직접 택하는 방법은 맞꼭지각의 쌍의 개수뿐만 아니라 맞꼭지각도 찾을 수 있습니다.
그런데 맞꼭지각의 쌍의 개수만 구한다면, 공식에 직선의 개수만 대입하면 됩니다.
즉 서로 다른 n개의 직선이 한 점에서 만날 때 n(n-1) 쌍의 맞꼭지각이 생깁니다.
왜 이런 공식이 나왔는지 이유에 대해 알아보도록 해요.
서로 다른 4개의 직선이 한 점에서 만나는 경우를 생각해 볼게요.
직선을 첫 번째 직선과 두 번째 직선으로 나눠서 선택할 때, 처음에는 직선 □와 △, 직선 △와 □는 같지 않다고 생각합니다.
즉, 첫 번째로 직선 1을 택하고 두 번째는 직선 2를 택하는 것과, 첫 번째로 직선 2를 택하고 두 번째는 직선 1을 택하는 경우는 다르다고 생각하는 거죠. (순서가 있다고 생각해보세요.)
따라서 위의 그림에서처럼 두 직선을 택하는 경우는 3가지+3가지+3가지+3가지=12가지 라고 할 수 있어요.
즉 3+3+3+3=4×3=12 라고 할 수 있죠.
위의 식 4×3=12에서 4가 의미하는 것은 무엇일까요?
바로 첫 번째로 택할 수 있는 직선의 개수입니다. 즉 1, 2, 3, 4를 택할 수 있으므로 4개의 직선이고,
3이 의미하는 것은 두 번째 오는 직선의 개수예요.
맞꼭지각은 서로 다른 두 직선이 만나서 생기므로 두 번째의 직선은 첫 번째 직선을 제외해서 3개의 직선을 택할 수 있겠죠.
이제 직선 □와 △, 직선 △와 □는 같다고 생각합시다.
앞에서 구한 4×3=12에서 첫 번째로 직선 1을 택하고 두 번째는 직선 2를 택하는 것과, 첫 번째로 직선 2를 택하고 두 번째는 직선 1을 택하는 경우를 이제는 같다고 보는 거죠.
즉 직선 □와 △, 직선 △와 □는 같으므로 12가지의 경우 중 반절이 겹쳐지기 때문에 이를 제외하고 두 직선을 택하는 경우는 
또한 두 개의 직선이 주어졌을 때 맞꼭지각의 쌍은 2개이므로 총 
정리하면, 서로 다른 4개의 직선이 한 점에서 만나는 경우 맞꼭지각의 쌍의 개수는 4×(4-1)=12개 라고 할 수 있습니다.
이제 n개의 직선으로 일반화해보도록 해요.
첫 번째로 택할 수 있는 직선의 개수는 n개, 두 번째로 택할 수 있는 직선의 개수는 n-1개이며
여기서 중복되는 직선의 개수를 제거하고 두 직선을 택하는 경우는
또한 두 개의 직선이 주어졌을 때 맞꼭지각의 쌍은 2개이므로 총
즉 서로 다른 n개의 직선이 한 점에서 만날 때 n(n-1)쌍의 맞꼭지각이 생긴다고 할 수 있습니다.
위의 예에서 서로 다른 직선이 3개인 경우에는 맞꼭지각이 6쌍이었죠? 공식에 대입한다면 3×(3-1)=3×2=6과 같다는 것을 알 수 있어요.
오개념 체크)
위의 그림의 맞꼭지각의 쌍의 개수는, 서로 다른 직선이 5개이므로 공식을 적용해서 5×(5-1)=20쌍이라고 할 수 있을까요?
결론적으로 말한다면 할 수 없습니다. 왜 그럴까요?
공식을 유도할 때 어떤 두 개의 직선을 택하더라도 맞꼭지각이 생긴다는 것을 전제로 했어요.
그런데 위의 그림에서처럼 평행한 직선이 존재하는 경우에는 평행한 두 직선을 택하게 되면 맞꼭지각이 생기지 않으므로 공식의 전제조건이 성립되지 않아요.
그러므로 공식을 적용할 수 없습니다.
풀이를 해보면, 4개의 핑크점에서는 두 개의 직선이 만나기 때문에 맞꼭지각은 총 8쌍이고, 녹색점에서는 3개의 직선이 한 점에서 만나므로 공식을 적용하면 3×(3-1)=6쌍입니다.
따라서 위의 그림에서 맞꼭지각은 8+6=14쌍이라고 할 수 있습니다.
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