순환소수를 분수로 나타내기 (세 가지 방법)

분수를 소수로 고치면 유한소수와 순환소수로 나타낼 수 있었어요.

[이전 글 보기] - 유한소수, 무한소수, 순환소수/유한소수, 순환소수로 나타낼 수 있는 분수 특징

 

거꾸로 생각해서 소수를 분수로 고칠 때,

예를 들어 유한소수 0.24는 소수 두자리 수이므로 분모를 100인 분수로 나타낸 후, 기약분수로 고쳐 으로 나타낼 수 있습니다.

 

이제 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 대해 알아보도록 해요.

 

  순환소수를 분수로 나타내는 첫 번째 방법

 

우선 초등학교 때 어떤 소수에 10, 100, 1000, ··· 을 곱하면 소수점의 위치가 각각 오른쪽으로 한 자리, 두 자리, 세 자리, ··· 옮겨진다는 것을 배웠어요.

 

따라서 첫 번째 방법은 주어진 순환소수에 10, 100, 1000, ··· 을 곱해서 소수점 아래의 부분이 같은 순환소수를 만들어 두 순환소수의 차가 정수임을 이용하는 것입니다.

 

간단히 정리하면,

① 주어진 순환소수를 x로 놓기.

② 소수점 아래의 부분이 같도록 10의 거듭제곱을 곱해서 식을 만들기.

③ 두 식을 변끼리 빼서 x의 값을 구한 후, 기약분수로 고치기. 

로 나타낼 수 있습니다.

예를 통하여 위의 ①~③과정을 연습해 보도록 해요.

(ㄱ) 유형: 소수점 아래 바로 순환마디가 오는 경우

 

예 1) 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=0.333··· 입니다.

 

② (a)의 식과 소수점 아래의 부분이 같은 식을 만들기 위해서는

반복되는 가장 짧은 부분이 순환마디이므로 순환마디 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 식에 10의 거듭제곱을 곱하면 됩니다.

즉 순환마디는 3이므로

3 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 10을 곱하면,

(b) 10x=3.333··· 입니다.

 

③ (b)에서 (a)의 식을 변끼리 빼면,

 

입니다.

 

예 2)

 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=1.565656··· 이고

 

② 순환마디 56 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 100을 곱하면,

(b) 100x=156.565656··· 입니다.

 

③ (b)에서 (a)의 식을 변끼리 빼면,

  

 

입니다.

 

예 3)

 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=0.673673673··· 이고

 

② 순환마디 673 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 1000을 곱하면,

(b) 1000x=673.673673673··· 입니다.

 

③ (b)에서 (a)의 식을 변끼리 빼면,

 

입니다.

<ㄴ> 유형: 소수점 아래 바로 순환마디가 오지 않는 경우 

 

예 4)

 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=0.2555··· 입니다.

 

② 소수점 아래 바로 순환마디가 오지 않으므로

즉, 소수점 아래 반복되지 않는 숫자가 있기 때문에 (ㄱ) 유형의 예처럼 (a)의 식과 소수점 아래의 부분이 같은 식은 만들 수 없습니다.

 

따라서 소수점 아래의 부분이 같은 두 식을 만들기 위해서는 순환마디의 앞과 뒤에 소수점이 오도록 하면 됩니다.

즉 순환마디 앞에 소수점이 오도록 (a)의 식에 10의 거듭제곱을 곱해서 하나의 식을 만들고,

순환마디 뒤에 소수점이 오도록 (a)의 식에 10의 거듭제곱을 곱해서 다른 하나의 식을 만들면, 두 식은 소수점 아래의 부분이 같아집니다.

(a) x=0.2555··· 에서 순환마디는 5이므로

5 앞에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 10을 곱하면,

(b) 10x=2.555··· 이고

 

5 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 100을 곱하면,

(c) 100x=25.555··· 입니다.

 

③ (c)에서 (b)의 식을 변끼리 빼면,

 입니다.

 

예 5)

 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=1.3212121··· 이고

 

② 순환마디가 21이므로

 

21 앞에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 10을 곱하면,

(b) 10x=13.212121··· 이고

 

21 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 1000을 곱하면,

(c) 1000x=1321.212121··· 입니다.

③ (c)에서 (b)의 식을 변끼리 빼면,

 

입니다.

예 6)

 

① 주어진 순환소수를 x로 놓으면,

(a) x=0.12343434···이고

 

② 순환마디가 34이므로

 

34 앞에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 100을 곱하면,

(b) 100x=12.343434··· 이고

 

34 뒤에 소수점이 올 수 있도록 (a)의 양변에 10000을 곱하면,

(c) 10000x=1234.343434··· 입니다.

 

③ (c)에서 (b)의 식을 변끼리 빼면,

 

 

입니다.

  순환소수를 분수로 나타내는 두 번째 방법

수학적인 설명이 아닌 알고리즘적으로 빠르게 구할 수 있는 방법이며,

위의 첫 번째 방법과 마찬가지로 (ㄱ) 유형과 (ㄴ) 유형으로 생각해 볼 수 있습니다.

 

 

(ㄱ) 유형의 순환소수는 분모에는 순환마디 숫자의 개수만큼 9를 쓰고,

분자에는 전체 수와 전체 수에서 순환하지 않는 수의 차를 써서 분수로 나타낼 수 있습니다.

위의 예 1) , 예 2) , 예 3) 을 적용해보면,

예 1) 은 순환마디 숫자의 개수는 1개이므로 분모는 9,

전체 수는 3이고 전체 수에서 순환하지 않는 수는 없으므로 분자는 3입니다.

따라서  이며, 기약분수로 고쳐로 나타낼 수 있습니다.

예 2) 은 순환마디 숫자의 개수는 2개이므로 분모는 99,

전체 수는 156이며 전체 수에서 순환하지 않는 수는 1이므로 분자는 156-1=155입니다.

분수로 나타내면 입니다.

예 3) 은 순환마디 숫자의 개수는 3개이므로 분모는 999,

전체 수는 673이며 전체 수에서 순환하지 않는 수는 없으므로 분자는 673입니다.

즉 으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

(ㄴ) 유형의 순환소수는 분모에 순환마디 숫자의 개수만큼 9를 쓰고, 그 뒤에 소수점 아래 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 쓰며,

분자에는 전체 수와 전체 수에서 순환하지 않는 수의 차를 쓰면 됩니다.

위의 예 4) , 예 5) , 예 6) 을 적용해보면,

예 4) 는 순환마디 숫자의 개수는 1개, 소수점 아래 순환마디가 아닌 숫자의 개수는 1개이므로 분모는 90,

전체 수는 25이며 전체 수에서 순환하지 않는 수는 2이므로 분자는 25-2=23입니다.

즉 입니다.

예 5) 은 순환마디 숫자의 개수는 2개, 소수점 아래 순환마디가 아닌 숫자의 개수는 1개이므로 분모는 990,

전체 수는 1321이며 전체 수에서 순환하지 않는 수는 13이므로 분자는 1321-13=1308입니다.

이며, 기약분수로 고쳐으로 나타낼 수 있습니다.

 

예 6) 은 순환마디 숫자의 개수는 2개, 소수점 아래 순환마디가 아닌 숫자의 개수는 2개이므로 분모는 9900,

전체 수는 1234이며 전체 수에서 순환하지 않는 수는 12이므로 분자는 1234-12=1222입니다.

 

이며, 기약분수로 고쳐 으로 나타낼 수 있습니다.

[ 참고 ] 고등학교 과정 (무한 등비급수의 합 이용)

  순환소수를 분수로 나타내는 세 번째 방법  

첫 항이 a이고 공비가 r (-1< r <1) 인 무한 등비급수의 합을 S라 할 때,  입니다.

위의 예를 무한 등비급수의 합 공식에 적용해 보도록 해요.

 

예 1)

 

 

예 2)

 

 

예 3)

 

 

예 4)

 

 

예 5)

 

 

예 6)