미지수가 2개인 연립일차방정식의 해를 구하는 방법은
미지수가 2개이니까 미지수 1개를 없애서 중학교 1학년 때 배운 미지수가 1개인 일차방정식으로 만들면 됩니다.
[이전 글 보기/중1수학] - 일차방정식( 뜻, 괄호, 계수에 소수, 계수에 분수 )
그렇게 없애는 방법이 더하거나 빼서 없애는 가감법과 대입해서 없애는 대입법이 있습니다.
또한 미지수를 없애는 것을 수학적인 용어로 그 미지수를 소거한다라고 합니다.
이제 연립일차방정식
가감법 풀이 방법
① 소거할 미지수 정하기.
x를 소거한다고 정합니다.
② 소거할 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만들기(최소공배수 이용).
(a)의 식에서 x의 계수는 4이고 (b)의 식에서 x의 계수는 6이므로 x를 소거하려면 x의 계수를 같게 만들어야겠죠?
왜냐하면 뺄셈을 이용하여 x를 없앨수 있으니깐요. (nx-nx=0)
최소공배수를 구해서 4×3=12, 6×2=12 으로 계수를 12로 같게 만들수 있습니다.
(4와 6에 어떤 수를 곱해서 같은 수를 만들 수 있는 방법은 공배수를 구하면 돼요.
4와 6의 공배수는 12, 24, 36, ··· 이므로 12x, 24x, 36x, ··· 으로 만들 수 있는데 작은 수가 계산하기 편리하므로 최소공배수를 이용하는 것 뿐입니다.)
그런데 (a)와 (b)의 식은 등식이에요. x의 계수에만 수를 곱한다면 등식은 성립되지 않습니다.
따라서 양변에 같은 수를 곱하면 등식은 성립한다는 등식의 성질을 이용해서 (a)의 양변에 3을 곱하고, (b)의 양변에 2를 곱합니다.
③ 소거할 계수의 부호가 같으면 빼고 부호가 다르면 더하기.
(c)에서 (d)를 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 빼면 16y=32, y=2 입니다.
④ 연립방정식 해 구하기.
y=2를 (a)의 식 또는 (b)의 식에 대입하여 x의 값을 구할 수 있습니다.
(a)의 식에 대입한다면,
입니다.
즉 연립방정식의 해는
이번에는 소거할 미지수를 바꿔서 풀어보도록 해요.
① 소거할 미지수 정하기.
y를 소거한다고 정합니다.
② 소거할 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만들기(최소공배수 이용).
2와 5는 서로소이므로 최소공배수는 2×5=10입니다.
따라서 (a)의 식에 5를 곱하고 (b)의 식에 2를 곱합니다.
③ 소거할 계수의 부호가 같으면 빼고 부호가 다르면 더하기.
(c)에서 (d)를 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 더하면
④ 연립방정식 해 구하기.
(a)의 식에 대입한다면,
입니다.
즉 연립방정식의 해는
대입법 풀이 방법
대입법이란 한 방정식에서 하나의 미지수를 다른 미지수의 식으로 표현한 후 이를 다른 방정식에 대입하여 해를 구하는 것을 의미합니다.
① 한 방정식에서 하나의 미지수를 다른 미지수에 관한 식으로 나타내기.
(a)의 식에서 y를 x에 관한 식으로 나타내면,
입니다.
② ①에서 구한 식을 다른 방정식에 대입하여 일차방정식 해 구하기.
y=-2x+3을 (b)의 식에 대입하면,
이고,
일차방정식 16x-15=-7의 해를 구하면,
입니다.
③ 연립방정식 해 구하기.
이므로 연립방정식의 해는
이처럼 대입법은 가감법보다 식을 계산하는 것이 복잡하므로 일반적으로 대입법보다는 가감법을 이용하여 연립방정식의 해를 구합니다.
단, 미지수의 계수가 1인 아래의 예 같은 경우는 대입법을 이용하는 것도 간단히 계산 가능합니다.
① 한 방정식에서 하나의 미지수를 다른 미지수에 관한 식으로 나타내기.
(a)의 식에서 x를 y에 관한 식으로 나타내면 x=-2y-1 입니다.
② ①에서 구한 식을 다른 방정식에 대입하여 일차방정식 해 구하기.
x=-2y-1 을 (b)의 식에 대입하여 y에 관한 일차방정식의 해를 구하면,
입니다.
③ 연립방정식 해 구하기.
y=-1 을 ①에서 구한 식 x=-2y-1 에 대입하면,
이므로 연립방정식의 해는 x=1, y=-1 입니다.
댓글