일차방정식( 뜻, 괄호, 계수에 소수, 계수에 분수 )

x에 관한 방정식 2x+5=12에 대하여 우변에 있는 항 12를 좌변으로 이항하여 정리하면,

2x+5-12=0, 2x-7=0입니다.

즉 (일차식)=0 꼴이 되는 방정식을 일차방정식이라고 해요.

 

예를 들어 방정식 3x-4=2x+5에서 2x+5를 좌변으로 이항해서 동류항끼리 정리하면,

3x-4-2x-5=0, (3x-2x)+(-4-5)=0, x-9=0이므로 (일차식)=0 꼴이 되기 때문에 일차방정식입니다.

 

또 다른 예로 은 정리하면,

 이므로 좌변이 이차식이 되어 즉 (일차식)=0 꼴이 되지 않기 때문에 일차방정식이 아닙니다.

 

그렇다면 꼭 좌변으로 식을 이항하여 우변의 항을 0으로 만들어야 할까?라는 생각이 들 수도 있어요.

3x-4=2x+5는 양변에 일차항이 있기 때문에 일차방정식, 는 양변에 이차항이 있기 때문에 일차방정식이 아니라고 생각할 수도 있으니깐요.

 

계산에 익숙해져서 머릿속으로 소거되는 항을 판단할 수 있다면 가능하겠지만 그렇지 않다면 꼭 (식)=0 꼴로 만든 다음에 판단해야 합니다.

왜 그래야 하는지 예를 통해 알아보도록 해요.

 

예 1) 3x+1=2(x+1)+x 는 양변에 일차항이 있지만 일차방정식이 아닙니다. 

정리해보면 3x+1=2x+2+x, 3x+1=3x+2, 3x+1-3x-2=0, -1=0 이 되기 때문입니다.

 

예 2) 는 양변에 이차항이 있지만 일차방정식입니다.

정리해보면 이므로 (일차식)=0 꼴이 되기 때문입니다.

  < 일차방정식 문제 유형 >

 

이제 일차방정식에 관한 몇 개의 예를 풀어보도록 해요. (방정식을 푼다는 의미는 해를 구하라는 말과 같은 말입니다.)

일차방정식 해를 구할 때는 x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한 후 동류항끼리 계산하여

로 만든 다음 양변을 x의 계수 a로 나누어 해를 찾으면 됩니다.

 

(1) 괄호가 있는 경우: 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리.

 

예 ) -2(3x+6)=3(x-2)

 

분배법칙을 이용하여 양변의 괄호를 풀면 -6x-12=3x-6이고,

x를 포함한 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항하면 -6x-3x=-6+12, -9x=6입니다.

마지막으로 양변을 x의 계수 -9로 나누면 이고 약분하면 입니다.

 

(2) 계수에 소수가 있는 경우: 10, 100, 1000 등 10의 거듭제곱을 곱해서 정수로 만들기.

 

예 ) 0.5x+0.2=0.45

 

바로 이항해서 식을 정리해도 되지만 쉽게 계산하기 위해 모든 항을 정수로 만듭니다.

등식의 성질에 의하여 양변에 똑같은 수를 곱해도 등식은 성립하므로 양변에 100을 곱합니다.

즉 50x+20=45이며, 좌변의 상수항 20을 우변으로 이항하면 50x=45-20, 50x=25가 됩니다.

양변에 x의 계수 50으로 나누면 이고 약분하면 입니다.

 

(3) 계수에 분수가 있는 경우: 양변에 최소공배수를 곱해서 정수로 만들기.

 

 

식을 계산할 때 분수가 있으면 분모를 최소공배수로 만들어 통분해서 계산했었죠? 방정식에서도 똑같이 전개해 볼게요.

모든 항의 분모에 10이 있고 마지막에는 x의 계수의 역수를 곱하는 과정(x의 계수로 나누는 과정)에서 분모의 10이 약분되죠?

 

그래서 통분을 하는 것보다 양변에 최소공배수를 곱해서 모든 항을 정수로 만들어 방정식을 정리하는 것이 효율적입니다.

 

따라서 양변에 최소공배수 10을 곱해서 일차방정식을 풀면,

입니다.

 

여기서 최소공배수를 곱할 때는 양변의 모든 항에 곱해줘야 합니다.  처럼 분수가 있는 항에만 곱해서는 안됩니다.

 

왜 양변의 모든 항에 곱해야 할까요?

바로 등식의 성질 중에 ' a=b 일 때 ac=bc (양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.) '라는 것을 이용했기 때문이에요.

를 a, 를 b, 10을 c라고 생각하면 이해하기 쉽겠죠?

 

(4) 계수에 소수, 분수가 있는 경우: 소수를 분수로 고친 후 양변에 최소공배수 곱해서 정수로 만들기.

 

 

<오개념 체크>

위의 식에서 분모의 최소공배수 30을 양변에 곱하는 경우를 생각해 볼게요.

 

의 좌변을 계산할 때,

모든 항에 최소공배수를 곱해야 하니깐 분배법칙을 이용해야 한다고 착각해서의 와에 각각 30을 곱해으로 계산하는 경우가 있어요.

 

분배법칙이 성립되는 경우는 쉽게 얘기하면 괄호 앞은 곱셈, 괄호 안은 덧셈과 뺄셈인 경우예요.

식으로 정리하면 a×(b+c)=a×b+a×c, a×(b-c)=a×b-a×c 입니다.

[이전글보기/중1수학] - 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 쉽게 기억하는 방법

 

따라서의 곱셈 기호를 살리면이고 괄호 안은 곱셈(×)이므로 분배법칙이 성립하지 않습니다.

즉 계산하면입니다.

 

계산 실수가 많다면,

를 분수꼴로 고쳐서

 로 계산하던지,

 

아래의 풀이처럼 괄호를 먼저 푼 후에 양변에 30을 곱해서 분배법칙을 이용해서 풀어도 됩니다.

 

 

이처럼 방정식을 쉽게 풀기 위해서는 모든 항을 정수로 만든 후에 계산하는 것이 편리합니다. 또한 방정식을 다 푼 후에 검산하는 과정도 중요해요. 해를 찾은 후 직접 대입해서 등식이 성립하는지 확인하면 됩니다.