다각형의 외각의 크기의 합이 360˚ 임을
다각형의 내각의 합을 구하는 공식과 평각(180˚)을 이용하여 증명할 수 있어요.
예를 들어 오각형의 한 꼭지점에서 내각과 외각의 크기의 합은 180˚ 이고, 꼭짓점은 5개 있으므로
(a+f)+(b+g)+(c+h)+(d+i)+(e+j)=180˚+180˚+180˚+180˚+180˚
(a+b+c+d+e)+(f+g+h+i+j)=180˚+180˚+180˚+180˚+180˚
(내각의 크기의 합)+(외각의 크기의 합)=180˚×5 입니다.
즉, (외각의 크기의 합)=180˚×5-(내각의 크기의 합) 이며
오각형의 내각의 크기의 합이 180˚×(5-2) 이므로 이를 위의 식에 대입하면 아래와 같습니다.
[이전 글 보기] - 다각형의 내각의 크기의 합 구하는 방법(공식)
(외각의 크기의 합)
=180˚×5-180˚×(5-2)
=180˚×5-180˚×5+180˚×2
=180˚×2
=360˚
일반화하면 n각형에서
꼭짓점은 n개,
(내각의 크기의 합)+(외각의 크기의 합)=180˚×n
(외각의 크기의 합)
=180˚×n-(내각의 크기의 합) 이며,
n각형의 내각의 크기의 합이 180˚×(n-2) 이므로
(외각의 크기의 합)
=180˚×n-180˚×(n-2)
=180˚×n-180˚×n+180˚×2
=180˚×2
=360˚ 입니다.
즉, 위의 식 n의 자리에 어떤 수를 넣어도 계산상 사라지므로 어떤 다각형이든 외각의 크기의 합이 360˚ 일 수밖에 없습니다.
한편, 정n각형은 모든 내각의 크기는 같으므로 모든 외각의 크기는 같습니다.
정n각형의 외각의 크기가 다르다고 한다면,
예를 들어 외각의 크기가 A꼭지점에서 100˚, B꼭지점에서 60˚ 이면, 내각은 각각 80˚, 120˚ 이므로 내각의 크기가 같다는 사실에 모순이겠죠?
따라서 정n각형의 한 외각의 크기는 외각의 크기의 합(360˚)을 꼭지점의 개수로 나눈것과 같습니다.
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