다각형의 내각의 크기의 합과 정다각형의 한 내각의 크기를 구하는 공식에 대해 알아보도록 해요.
다각형의 내각의 크기의 합은
다각형을 삼각형으로 나누어 삼각형의 내각의 크기의 합이 180˚인 것을 이용하여 구할 수 있어요.
[이전 글 보기] - 삼각형의 내각의 합이 180도인 이유(증명)
공식을 유도하기 위해 다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형을 나누어 보도록 할게요.
1) 사각형
사각형은
꼭짓점의 개수는 4개,
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 1개,
나누어지는 삼각형은 2개이므로
사각형의 내각의 크기의 합은 180˚×2=360˚ 입니다.
2) 오각형
오각형은
꼭짓점의 개수는 5개,
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 2개,
나누어지는 삼각형은 3개이므로
오각형의 내각의 크기의 합은 180˚×3=540˚ 입니다.
3) 육각형
육각형은
꼭짓점의 개수는 6개,
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 3개,
나누어지는 삼각형은 4개이므로
육각형의 내각의 크기의 합은 180˚×4=720˚ 입니다.
3) n각형
위의 1), 2), 3)에 의하여 삼각형의 개수는 대각선의 개수보다 1개 많다는 것을 알 수 있어요.
그렇다면 n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n-3개이므로
나누어지는 삼각형은 (n-3)+1=n-2개라고 추측할 수 있겠죠?
[이전 글 보기] - 다각형의 대각선 개수 구하는 방법(공식)
정리하면,
n각형은
꼭짓점의 개수는 n개,
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n-3개,
나누어지는 삼각형은 (n-3)+1=n-2개이므로
※ 공식
n각형의 내각의 크기의 합은 180˚×(n-2) 입니다.
예) 십이각형의 내각의 크기의 합은?
180˚×(12-2)=1800˚
한편, 정다각형은 모든 변과 모든 내각의 크기가 같기 때문에
정n각형의 한 내각의 크기는 내각의 크기의 합을 꼭짓점의 개수로 나눈 것과 같습니다.
즉, 정n각형의 한 내각의 크기는
입니다.
예) 정십이각형의 한 내각의 크기는?
오개념 체크)
위의 육각형의 내각의 크기의 합은 삼각형이 6개로 나누어졌으므로 180˚×6=1080˚ 라고 해도 될까요?
공식으로 푼 것과 위의 그림에서처럼 삼각형으로 나누어서 푼 것의 답이 다른 이유가 무엇일까요?
공식을 유도한 과정을 살펴보면,
한 꼭짓점에서 대각선을 그어서 삼각형으로 나누었기 때문에 나누어진 삼각형들의 내각은 모두 다각형의 내각에 포함되었지만,
위의 그림에서처럼 삼각형으로 나누었을 때는 핑크 동그라미 안의 삼각형의 내각은 다각형의 내각에 포함되지 않아요.
따라서 핑크 동그라미의 크기는 360˚ 이므로 이를 빼줘서 180˚×6-360˚=1080˚-360˚=720˚ 으로 구해야 합니다.
<참고>
위의 그림에서처럼 삼각형으로 나누는 방법으로 공식을 유도할 수도 있어요.
육각형의 내부의 한 점에서 각 꼭지점에 선분을 그어 삼각형으로 나누면 삼각형이 총 6개 생기는 것처럼
n각형의 내부의 한 점에서 각 꼭지점에 선분을 그어 삼각형으로 나누면 삼각형이 총 n개가 생기므로 삼각형들의 내각의 크기는 모두 180˚×n 이고
여기에서 n각형의 내각에 포함되지 않는 내부의 한 점에 모인 각의 크기 360˚를 빼주면
180˚×n-360˚=(180˚×n)-(180˚×2) 이며 분배법칙을 이용해서 간단히 하면 180˚×(n-2) 입니다.
즉, 다각형의 한 꼭지점에서 대각선을 그어 삼각형을 나누는 방법이든 내부의 한 점에서 각 꼭지점에 선분을 그어 삼각형을 나누는 방법이든 어떤 방법을 택해서 공식을 유도하더라고 다각형의 내각의 크기의 합은 180˚×(n-2) 라는 것을 알 수 있습니다.
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