둘 이상의 분수의 분모를 같게 만드는 것을 통분이라고 하며, 통분한 분모를 공통분모라고 해요.
예를 통하여 통분하는 법 즉, 공통분모를 찾는 방법에 대해 알아보도록 해요.
예 ) ($\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{6}$)
우선 주어진 분수와 크기가 같은 분수는 분모와 분자에 0이 아닌 똑같은 수를 곱해서 만들 수 있습니다.
① $\frac{3}{4}$과 크기가 같은 분수는
$\frac{3}{4}$=$\frac{3×2}{4×2}$=$\frac{3×3}{4×3}$=$\frac{3×4}{4×4}$=$\frac{3×5}{4×5}$=$\frac{3×6}{4×6}$=$\frac{3×7}{4×7}$=$\frac{3×8}{4×8}$=$\frac{3×9}{4×9}$= ··· 이므로
정리하면 $\frac{3}{4}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{12}{16}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{18}{24}$=$\frac{21}{28}$=$\frac{24}{32}$=$\frac{27}{36}$= ··· 이며,
② $\frac{1}{6}$과 크기가 같은 분수는
$\frac{1}{6}$=$\frac{1×2}{6×2}$=$\frac{1×3}{6×3}$=$\frac{1×4}{6×4}$=$\frac{1×5}{6×5}$=$\frac{1×6}{6×6}$=$\frac{1×7}{6×7}$= ··· 이므로
정리하면 $\frac{1}{6}$=$\frac{2}{12}$=$\frac{3}{18}$=$\frac{4}{24}$=$\frac{5}{30}$=$\frac{6}{36}$=$\frac{7}{42}$= ··· 입니다.
따라서 $\frac{3}{4}$과 $\frac{1}{6}$의 크기가 같은 분수 중에서 분모가 같은 것을 택하면
($\frac{9}{12}$ , $\frac{2}{12}$), ($\frac{18}{24}$ , $\frac{4}{24}$), ($\frac{27}{36}$ , $\frac{6}{36}$), ··· 이므로 분모 4와 6의 공배수 12, 24, 36, ··· 이 공통분모가 될 수 있습니다.
일반적으로 공배수 중에서 쉽게 찾을 수 있는 두 분모의 곱을 공통분모로 하거나 또는 계산을 쉽게 하기 위해 두 분모의 최소공배수를 공통분모로 합니다.
그럼 두 가지 방법을 적용해서 분수의 덧셈과 뺄셈 연산을 해보도록 할까요?
예 1) $\frac{1}{6}+\frac{2}{9}$
① 첫 번째 방법 : 두 분모의 곱을 공통분모로 하기.
두 분모의 곱은 6×9=54 입니다.
$\frac{1}{6}+\frac{2}{9}$
=$\frac{9}{54}+\frac{12}{54}$
=$\frac{9+12}{54}$
=$\frac{21}{54}$
=$\frac{7}{18}$ (약분)
② 두 번째 방법 : 두 분모의 최소공배수를 공통분모로 하기.
6과 9의 최소공배수는 3×2×3=18 입니다.
$\frac{1}{6}+\frac{3}{9}$
=$\frac{3}{18}+\frac{4}{18}$
=$\frac{3+4}{18}$
=$\frac{7}{18}$
예 2) $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}$
분모 3과 5의 공약수는 1뿐이기 때문에 두 분모의 곱은 최소공배수가 되므로 첫 번째 방법과 두 번째 방법은 같은 방법이 됩니다.
$\frac{2}{3}-\frac{3}{5}$
=$\frac{10}{15}-\frac{9}{15}$
=$\frac{10-9}{15}$
=$\frac{1}{15}$
이번에는 세 분수의 덧셈과 뺄셈도 해보도록 해요.
계산을 쉽게 하기 위해 두 번째 방법인 분모의 최소공배수를 공통분모로 하여 통분하기로 해요.
예 3) $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}+\frac{5}{6}$
두 분수를 먼저 통분하여 계산하는 방법과 세 분수를 한 번에 통분하여 계산하는 방법이 있어요.
단, 덧셈과 뺄셈의 연산 순서는 앞에서부터 차례대로 계산해야 한다는 것만 잊지 않으면 됩니다.
① 첫 번째 방법 : 앞에 두 분수를 먼저 통분하기.
$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$
=$(\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$$+\frac{3}{8}$
=$(\frac{8}{12}-\frac{3}{12})$$+\frac{3}{8}$
=$\frac{8-3}{12}$$+\frac{3}{8}$
=$\frac{5}{12}+\frac{3}{8}$
=$\frac{10}{24}+\frac{9}{24}$
=$\frac{10+9}{24}$
=$\frac{19}{24}$
② 두 번째 방법 : 세 분수를 한 번에 통분하기.
<참고> 자연수와 분수의 통분
예 4) 2-$\frac{3}{5}$
자연수는 분모를 1로 해서 분수로 나타낼 수 있어요.
즉 2=$\frac{2}{1}$ 입니다.
따라서 2-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{1}$-$\frac{3}{5}$이며,
분모를 5로 같게 만들기 위해(분모 1과 5의 최소공배수는 5)
$\frac{2}{1}$의 분모와 분자에 5를 곱해서 계산하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
$\frac{2×5}{1×5}$-$\frac{3}{5}$
=$\frac{10}{5}$-$\frac{3}{5}$
=$\frac{10-3}{5}$
=$\frac{7}{5}$
=$1\frac{2}{5}$
(중학교, 고등학교에서는 분수의 사칙연산의 결과를 대분수로 고치지 않습니다.)
오개념 체크)
분수의 덧셈과 뺄셈에서 통분하는 것에 익숙해져서 분수의 곱셈을 할 때도 통분을 해서 계산해야 한다고 착각하는 경우가 있어요.
주어진 분수와 크기가 같은 분수끼리의 곱셈이므로 당연히 답은 맞겠지만, 통분하면서 곱한 수만큼 약분을 해야 하는데 계산을 복잡하게 할 필요가 없어요.
분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 그냥 곱하면 됩니다.
예 ) $\frac{2}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{2×4}{3×5}$=$\frac{8}{15}$
댓글