통분하는 법, 분수의 덧셈과 뺄셈

둘 이상의 분수의 분모를 같게 만드는 것을 통분이라고 하며, 통분한 분모를 공통분모라고 해요. 

 

예를 통하여 통분하는 법 즉, 공통분모를 찾는 방법에 대해 알아보도록 해요.

 

예 ) ($\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{6}$)

 

우선 주어진 분수와 크기가 같은 분수는 분모와 분자에 0이 아닌 똑같은 수를 곱해서 만들 수 있습니다.

 

① $\frac{3}{4}$과 크기가 같은 분수는

 

$\frac{3}{4}$=$\frac{3\times 2}{4\times 2}$=$\frac{3\times 3}{4\times 3}$=$\frac{3\times 4}{4\times 4}$=$\frac{3\times 5}{4\times 5}$=$\frac{3\times 6}{4\times 6}$=$\frac{3\times 7}{4\times 7}$=$\frac{3\times 8}{4\times 8}$=$\frac{3\times 9}{4\times 9}$= ··· 이므로

정리하면 $\frac{3}{4}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{12}{16}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{18}{24}$=$\frac{21}{28}$=$\frac{24}{32}$=$\frac{27}{36}$= ··· 이며,

 

② $\frac{1}{6}$과 크기가 같은 분수는

 

$\frac{1}{6}$=$\frac{1\times 2}{6\times 2}$=$\frac{1\times 3}{6\times 3}$=$\frac{1\times 4}{6\times 4}$=$\frac{1\times 5}{6\times 5}$=$\frac{1\times 6}{6\times 6}$=$\frac{1\times 7}{6\times 7}$= ··· 이므로

정리하면 $\frac{1}{6}$=$\frac{2}{12}$=$\frac{3}{18}$=$\frac{4}{24}$=$\frac{5}{30}$=$\frac{6}{36}$=$\frac{7}{42}$= ··· 입니다. 

 

따라서 $\frac{3}{4}$과 $\frac{1}{6}$의 크기가 같은 분수 중에서 분모가 같은 것을 택하면

($\frac{9}{12}$ , $\frac{2}{12}$),  ($\frac{18}{24}$ , $\frac{4}{24}$), ($\frac{27}{36}$ , $\frac{6}{36}$), ··· 이므로 분모 4와 6의 공배수 12, 24, 36, ··· 이 공통분모가 될 수 있습니다.

 

 

일반적으로 공배수 중에서 쉽게 찾을 수 있는 두 분모의 곱을 공통분모로 하거나 또는 계산을 쉽게 하기 위해 두 분모의 최소공배수를 공통분모로 합니다.

 

그럼 두 가지 방법을 적용해서 분수의 덧셈과 뺄셈 연산을 해보도록 할까요?

 

예 1)  $\frac{1}{6}+\frac{2}{9}$

 

① 첫 번째 방법 : 두 분모의 곱을 공통분모로 하기.

 

두 분모의 곱은 6×9=54 입니다.

 

$\frac{1}{6}+\frac{2}{9}$

=$\frac{9}{54}+\frac{12}{54}$

=$\frac{9+12}{54}$

=$\frac{21}{54}$

=$\frac{7}{18}$  (약분)

 

② 두 번째 방법 : 두 분모의 최소공배수를 공통분모로 하기.

 

6과 9의 최소공배수는 3×2×3=18 입니다.

 

 

$\frac{1}{6}+\frac{3}{9}$

=$\frac{3}{18}+\frac{4}{18}$

=$\frac{3+4}{18}$

=$\frac{7}{18}$

 

예 2) $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}$

 

분모 3과 5의 공약수는 1뿐이기 때문에 두 분모의 곱은 최소공배수가 되므로 첫 번째 방법과 두 번째 방법은 같은 방법이 됩니다.

 

$\frac{2}{3}-\frac{3}{5}$

=$\frac{10}{15}-\frac{9}{15}$

=$\frac{10-9}{15}$

=$\frac{1}{15}$

 

이번에는 세 분수의 덧셈과 뺄셈도 해보도록 해요.

계산을 쉽게 하기 위해 두 번째 방법인 분모의 최소공배수를 공통분모로 하여 통분하기로 해요.

 

 

예 3) $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}+\frac{5}{6}$

 

두 분수를 먼저 통분하여 계산하는 방법과 세 분수를 한 번에 통분하여 계산하는 방법이 있어요.

단, 덧셈과 뺄셈의 연산 순서는 앞에서부터 차례대로 계산해야 한다는 것만 잊지 않으면 됩니다.

[이전 글 보기/초등 수학] - 사칙연산 순서

 

① 첫 번째 방법 : 앞에 두 분수를 먼저 통분하기.

 

$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}$

=$(\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$$+\frac{3}{8}$

=$(\frac{8}{12}-\frac{3}{12})$$+\frac{3}{8}$

=$\frac{8-3}{12}$$+\frac{3}{8}$

 

=$\frac{5}{12}+\frac{3}{8}$

=$\frac{10}{24}+\frac{9}{24}$

=$\frac{10+9}{24}$

=$\frac{19}{24}$

 

② 두 번째 방법 : 세 분수를 한 번에 통분하기. 

 

<참고> 자연수와 분수의 통분

 

예 4) 2-$\frac{3}{5}$

 

자연수는 분모를 1로 해서 분수로 나타낼 수 있어요.

즉 2=$\frac{2}{1}$ 입니다.

 

따라서 2-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{1}$-$\frac{3}{5}$이며,

분모를 5로 같게 만들기 위해(분모 1과 5의 최소공배수는 5)

$\frac{2}{1}$의 분모와 분자에 5를 곱해서 계산하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$\frac{2\times 5}{1\times 5}$-$\frac{3}{5}$

=$\frac{10}{5}$-$\frac{3}{5}$

=$\frac{10-3}{5}$

=$\frac{7}{5}$

=$1\frac{2}{5}$

(중학교, 고등학교에서는 분수의 사칙연산의 결과를 대분수로 고치지 않습니다.)

 

오개념 체크)

 

분수의 덧셈과 뺄셈에서 통분하는 것에 익숙해져서 분수의 곱셈을 할 때도 통분을 해서 계산해야 한다고 착각하는 경우가 있어요.

주어진 분수와 크기가 같은 분수끼리의 곱셈이므로 당연히 답은 맞겠지만, 통분하면서 곱한 수만큼 약분을 해야 하는데 계산을 복잡하게 할 필요가 없어요.

분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 그냥 곱하면 됩니다.

예 ) $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$=$\frac{2\times 4}{3\times 5}$=$\frac{8}{15}$