중학교 1학년 때 일차식에 대해서 배웠어요.
예를 들어 3x, 2x-1, -5x+6 을 x에 관한 일차식이라고 하죠.
즉 ax+b ( a, b는 상수, a≠0 ) 으로 나타낼 수 있는 식을 일차식이라고 했어요.
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일차함수의 뜻
일차함수는 쉽게 얘기해서 함수 y=f(x)에서 f(x)가 x에 관한 일차식인 경우를 의미해요.
즉 y=ax+b( a, b는 상수, a≠0 ) 와 같이 나타내어질 때, 이 함수를 x에 관한 일차함수라고 정의합니다.
예를 들어 y=3x , y=2x-1 , y= -5x+6 은 y=(일차식) 이므로 일차함수라고 할 수 있겠죠?
<일차함수가 아닌 예>
예 1) y=$x^2$+1
$x^2$+1은 이차식이므로 y=$x^2$+1은 일차함수가 아니에요.
(참고: y=(이차식)은 이차함수, y=(삼차식)은 삼차함수, ··· )
예 2) y=$\frac{1}{x}+2$
분모에 x가 있으므로 일차식이 아니기 때문에 일차함수가 아니에요.
(참고: 분모에 x가 있는 함수는 분수함수)
예 3) y= 3, y= -5
y=ax+b 에서 a=0인 꼴인 y=b는 y=(일차식)이 아니기 때문에 일차함수가 아니에요.
(참고: y=b는 상수함수)
일차함수의 그래프 (평행이동)
예 ) y=3x+2 의 그래프를 y=3x 의 그래프와 비교해보도록 할게요.
우선 각각의 x의 값에 따라 y의 값을 비교해보면,
y=3x
$ \vdots $
x= -1 일 때 y=3×(-1)= -3
x= 0 일 때 y=3×0= 0
x= 1 일 때 y=3×1= 3
$ \vdots $
y=3x+2
$ \vdots $
x= -1 일 때 y=3×(-1)+2= -1
x= 0 일 때 y=3×0+2= 2
x= 1 일 때 y=3×1+2= 5
$ \vdots $
이므로 y=3x+2에서 y의 값은 y=3x에서 y의 값에 +2 된다는 것을 알 수 있어요.
그러므로 그래프를 그렸을 때도 y의 값이 +2 된다는 것을 생각하면 됩니다.
좀 더 자세히 설명해 볼게요.
우선 y=3x의 그래프를 그려야겠죠?
직선을 그으려면 두 점이 필요하고
y=3x의 그래프는 원점을 지나는 직선이므로 원점과 다른 하나의 점 (1 , 3)을 좌표평면에 나타낸 후 직선을 그으면 됩니다.
그다음 위의 그림에서처럼 y=3x의 그래프를 위로 두 칸 평행하게 올려서 직선을 그으면 y=3x+2의 그래프가 됩니다.
여기서 위로 두 칸 평행하게 올린다는 것을 y축 방향으로 +2만큼 평행이동한다고 해요.
(참고: 평행이동이란, 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 의미합니다.)
예 ) y=3x-2의 그래프와 y=3x의 그래프를 비교해보도록 해요.
y=3x
$ \vdots $
x= -1 일 때 y=3×(-1)= -3
x= 0 일 때 y=3×0= 0
x= 1 일 때 y=3×1= 3
$ \vdots $
y=3x-2
$ \vdots $
x= -1 일 때 y=3×(-1)-2= -5
x= 0 일 때 y=3×0-2= -2
x= 1 일 때 y=3×1-2= 1
$ \vdots $
마찬가지로 y의 값이 -2 된다는 것을 알 수 있어요.
그러므로 위의 그림에서처럼 y=3x의 그래프를 그린 후에 아래로 두 칸 평행하게 내려서 직선을 그으면 y=3x-2의 그래프가 됩니다.
여기서 아래로 두 칸 평행하게 내린다는 것을 y축 방향으로 -2만큼 평행이동한다고 합니다.
정리하면, 일차함수 y=ax+b 의 그래프는
일차함수 y=ax 의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 직선입니다.
예 ) y=$\frac{2x+3}{5}$ 의 그래프는 y= -ax의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이라고 할 때, a, b의 값은?
y= -ax의 그래프를 평행이동한 식과 주어진 식 y=$\frac{2x+3}{5}$의
x의 계수와 상수항이 각각 같음을 이용해서 풀면 됩니다.
y= -ax의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y= -ax+b 이므로 x의 계수는 -a, 상수항은 b 이고,
주어진 그래프 식 y=$\frac{2x+3}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}$ 의 x의 계수는 $\frac{2}{5}$, 상수항은 $\frac{3}{5}$이므로
-a=$\frac{2}{5}$ , a= -$\frac{2}{5}$, b=$\frac{3}{5}$ 입니다.
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