소인수분해 이용하여 최소공배수 구하는 방법

초등학교 때 최소공배수를 구하는 방법에 대해서 배웠어요.

( *둘 이상의 자연수의 공통인 배수를 공배수라 하고, 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수라고 합니다.)

예를 들어 4와 6의 최소공배수를 구하려면,

최소공배수의 개념에 따라 4의 배수 ( 4, 8, 12, 16, 20, 24, ··· )와 6의 배수를 ( 6, 12, 18, 24, ··· )를 나열한 후, 4와 6의 공배수(12, 24, ··· )를 찾은 다음 공배수 중에 가장 작은 수인 12를 구하던지,

두 수의 공약수로 나누는 방법을 이용하여 최소공배수를 ( 2×2×3=12 ) 찾을 수 있었습니다.

이제 최소공배수를 구하는 다른 방법에 대해 알아보도록 해요.

소인수분해를 이용하여 최소공배수 구하기

소인수분해를 이용하여 최소공배수를 구하는 방법은

두 수를 각각 소인수분해하여 거듭제곱으로 나타낸 후,

공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 지수가 큰 것을 택하고 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱은 그대로 택하여 모두 곱하는 것입니다.

( * 최대공약수는 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 지수가 작은 것을 택하고, 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱은 택하지 않고 모두 곱하여 구합니다.)

예를 통하여 자세히 알아보도록 해요.

예 1) 48과 112의 최소공배수는?

① 각각의 수를 소인수분해하기.

48=6×8

=2×3×2×2×2

이므로 48을 소인수분해하면 이고,

이므로 112를 소인수분해하면 입니다.

② 소인수분해한 결과는 공통인 소인수는 같은 줄에 맞추고, 공통인 소인수가 없는 경우는 빈 공간으로 놔두기.

③ 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 큰 것/ 공통이 아닌 소인수 거듭제곱 택하기.

공통인 소인수 2의 거듭제곱은 둘 다 으로 지수가 같으므로 그대로 택하고, 공통이 아닌 소인수 3과 7를 택해서 모두 곱하여 최소공배수 336을 구했습니다.

예 2) 36과 60의 최소공배수는?

① 각각의 수를 소인수분해하기.

36=4×9

=2×2×3×3

이므로 36을 소인수분해하면 이고,

60=6×10

=2×3×2×5

이므로 60을 소인수분해하면입니다.

② 소인수분해한 결과는 공통인 소인수는 같은 줄에 맞추고, 공통인 소인수가 없는 경우는 빈 공간으로 놔두기.

③ 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 큰 것/ 공통이 아닌 소인수 거듭제곱 택하기.

예 3) 의 최소공배수는?

예 4) 마찬가지로 4와 6의 최소공배수를 초등학교 때 배웠던 방법뿐 만 아니라 아래와 같이 소인수분해를 이용하여 구할 수 있습니다.

이처럼 예를 통하여 반복연습을 한다면 나중에는 줄을 맞추어 계산하지 않아도 바로 판단할 수 있을 거예요.

그런데 익숙하지 않은 경우는 소인수를 빠뜨릴 수도 있기 때문에 줄을 맞춰 계산하는 편이 낫습니다.

수학냥이 수수니