두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계가 있을 때,
y를 x의 함수라고 합니다.
함수인 것과 아닌 것 구분
아래의 예에서 y가 x의 함수인 것과 아닌 것을 찾아보도록 해요.
예 1) 자연수 x에 대하여 x의 약수는 y이다.
우선 x와 y의 관계를 쉽게 파악하기 위해 표로 나타내보도록 해요.
모든 자연수의 약수에는 1과 자기 자신이 포함되기 때문에 x=1일 때를 제외하고는 y의 값은 두 개 이상이라는 것을 알 수 있어요.
함수란 x에 따라 y의 값은 하나씩 정해지므로 y의 값이 두 개 이상이면 함수라고 할 수 없습니다.
예 2) 자연수 x에 대하여 x의 약수의 개수는 y이다.
위의 표를 보면
1의 약수는 1이므로 약수의 개수는 1개,
2의 약수는 1, 2이므로 약수의 개수는 2개,
3의 약수는 1, 3이므로 약수의 개수는 2개,
4의 약수는 1, 2, 4이므로 약수의 개수는 3개,
5의 약수는 1, 5이므로 약수의 개수는 2개라는 것을 알 수 있습니다.
자연수와 약수의 개수의 관계를 아래와 같이 표로 나타낼 수 있습니다.
즉 x의 값에 따라 y의 값은 하나씩 결정되므로 y는 x의 함수라고 할 수 있습니다.
특히 위의 표에서 x가 2, 3, 5일 때 y의 값이 2인 것처럼 서로 다른 x에 대해서는 y의 값이 같을 수 있습니다.
함수의 뜻에서 y의 값이 하나씩 정해진다는 말을 y의 값이 같을 수 없다는 말로 오해하지 않아야 합니다.
예 3) 모든 정수 x에 대하여 y는 1이다.
마찬가지로 모든 x에 대하여 y의 값이 1로 같더라도 함수가 맞습니다.
(참고: 모든 x에 대하여 y의 값이 같은 값을 가질 때 상수함수라고 합니다.)
예 4) 시속 3km로 x시간 달린 거리는 ykm이다.
(거리)=(속력)×(시간) 이므로 아래와 같이 표로 나타낼 수 있습니다.
x의 값에 따라 y의 값은 하나씩 결정되므로 y는 x의 함수입니다
또한 식으로 나타내면 y=3x이므로 정비례 관계식이며,
일반적인 정비례 관계식 y=ax (a≠0)는 함수라는 것도 추측할 수 있습니다.
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예 5) 시속 xkm로 y시간 달린 거리는 7km이다.
x의 값에 따라 y의 값은 하나씩 결정되므로 y는 x의 함수라고 할 수 있습니다
마찬가지로 반비례 관계식 
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