위의 그림에서처럼 원의 크기에 관계없이 원의 둘레는 지름보다 약 3배 정도 큽니다.
초등학교 때는 약 3.14배 정도 크다고 해서 원의 둘레=지름×3.14 라고 배웠었죠.
정확히는 원의 둘레는 원의 지름의 3.141592··· 배이며,
3.141592··· 를 원주율이라고 하고 기호로는 $\pi$, 읽을 때는 파이라고 합니다.
원의 둘레=지름×원주율
즉 원의 지름의 길이에 대한 원의 둘레의 길이(원주)의 비율을 원주율($\pi$)이라고 합니다.
초등학교 때 배운 원주와 원의 넓이를 구하는 공식을 기호로 표현해보도록 해요.
원의 반지름을 r이라고 할 때,
원주=2×반지름×3.14 (초등)
원주=2×r×$\pi$
=2$\pi$r (공식 ①)
원의 넓이=반지름×반지름 ×3.14 (초등)
원의 넓이=r×r×$\pi$
=$\pi r^2$ (공식 ②)
이라고 할 수 있습니다.
부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다고 했어요.
[이전 글 보기] - 중심각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이 사이의 관계
따라서 비례식을 세워 비례식의 외항의 곱과 내항의 곱이 같다는 성질을 이용하면,
부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 공식을 유도할 수 있어요.
부채꼴의 중심각의 크기를 $x^{\circ}$ , 호의 길이를 ℓ, 부채꼴의 넓이를 S 라고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
360 : x = 2$\pi$r : ℓ
360×ℓ=x×2$\pi$r
ℓ=2$\pi$r×$\frac{x}{360}$ (공식 ③)
360 : x = $\pi r^2$ : S
360×S=x×$\pi r^2$
S=$\pi r^2$×$\frac{x}{360}$ (공식 ④)
위의 공식을 암기할 때는 부채꼴이 원에서 차지하는 비율을 생각하면 돼요.
즉 부채꼴은 원의 $\frac{x}{360}$배이므로
호의 길이는 원주(2$\pi$r)의 $\frac{x}{360}$배,
부채꼴의 넓이는 원의 넓이($\pi r^2$)의 $\frac{x}{360}$배라고 이해하면 됩니다.
또한 부채꼴의 넓이를 호의 길이로 나타낼 수도 있어요.
$\pi r^2$ = $\frac{1}{2}$×r×$2\pi r$ 이므로
S=$\pi r^2$×$\frac{x}{360}$
=$\frac{1}{2}$×r×($2\pi r$×$\frac{x}{360}$)
=$\frac{1}{2}$rℓ (공식 ⑤)
입니다.
예) 아래의 그림은 한 변의 길이가 10cm인 정오각형의 각 변을 반지름으로 하는 부채꼴과 한 변을 지름으로 하는 반원을 나타낸 것이다. 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이는?
우선 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하려면 중심각의 크기를 알아야겠죠?
정오각형의 한 내각의 크기는 $\frac{180^{\circ}\times (5-2)}{5}=108^{\circ}$이므로 부채꼴의 중심각의 크기는 $360^{\circ}-108^{\circ}=252^{\circ}$입니다.
[이전 글 보기] - 다각형의 내각의 크기의 합, 정다각형의 한 내각의 크기 (공식)
① 색칠한 부분의 둘레의 길이
=(정오각형의 둘레의 길이)+(반지름이 10이고 중심각의 크기가 $252^{\circ}$인 부채꼴 2개의 호의 길이)+(지름이 10인 반원의 둘레의 길이)
=(5×10)+(2$\pi$×10×$\frac{252}{360}$×2)+(10$\pi$×$\frac{1}{2}$)
=50+28$\pi$+5$\pi$
=50+33$\pi$
② 색칠한 부분의 넓이
=(반지름이 10이고 중심각의 크기가 $252^{\circ}$인 부채꼴 2개의 넓이)+(지름이 10인 반원의 넓이)
=($\pi$×$10^2$×$\frac{252}{360}$×2)+($\pi$×$5^{2}$×$\frac{1}{2}$)
=140$\pi$+$\frac{25\pi }{2}$
=$\frac{305\pi }{2}$
<참고: 호도법 (고등학교 과정) >
$x^{\circ}$=$\theta$(라디안) , $360^{\circ}$=2$\pi$(라디안)
육십분법 : ℓ=2$\pi$r×$\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}$
호도법 : ℓ=2$\pi$r×$\frac{\theta}{2\pi}$=r$\theta$
육십분법 : S=$\pi r^2$×$\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}$
호도법 : S=$\pi r^2$×$\frac{\theta}{2\pi}$=$\frac{1}{2}r^2 \theta$
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