다면체는 다각형(삼각형, 사각형, 오각형, ··· )인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 의미해요.
또한 다각형에서 선분의 개수에 따라 다각형의 이름이 결정된 것처럼 다면체에서는 면의 개수에 따라 다면체의 이름이 결정돼요.
예) 선분의 개수가 4개인 다각형은 사각형.
면의 개수가 4개인 다면체는 사면체.
다면체 중에서
각 면이 모두 합동인 정다각형(정삼각형, 정사각형, 정오각형, ··· )이고,
각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라고 합니다.
정다면체의 종류가 5개뿐인 이유에 대해 설명해보도록 할게요.
정다면체가 5개뿐인 이유
면의 모양이 (1) 정삼각형, (2) 정사각형, (3) 정오각형, ··· 인 경우로 나눠서 정다면체를 분류해보도록 할게요.
우선 정다면체의 가장 기본이 되는 조건부터 생각해볼게요.
위의 정의를 보면 정다면체는 다면체예요. 다면체는 입체도형이죠.
즉 정다면체의 가장 기본이 되는 조건은 입체도형이어야 한다는 거예요.
그러므로 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 1개, 2개인 경우는 입체도형이 될 수 없고,
한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360도 이상이면 입체도형을 만들 수 없다는 것을 생각해야 합니다.
(한 꼭짓점을 잡고 면을 모은다고 생각해보세요.
360도이면 평면이 되고, 360도 초과되면 면이 겹쳐지게 되므로 입체도형이 될 수 없겠죠?)
(1) 각 면이 정삼각형인 경우.
① 한 꼭짓점에 모인 정삼각형이 3개:
정삼각형의 한 내각의 크기는 60도이므로 한 꼭짓점에 정삼각형이 3개가 모이면 각의 크기의 합은 180도이기 때문에 입체도형을 만들 수 있어요.
아래의 그림처럼 정사면체가 됩니다.
② 한 꼭짓점에 모인 정삼각형이 4개:
한 꼭짓점에 정삼각형이 4개 모이면 각의 크기의 합은 240도이므로 입체도형을 만들 수 있고,
아래의 그림처럼 정팔면체가 됩니다.
③ 한 꼭짓점에 모인 정삼각형이 5개:
한 꼭짓점에 정삼각형이 5개 모이면 각의 크기의 합은 300도이므로 입체도형을 만들 수 있고,
아래의 그림처럼 정이십면체가 됩니다.
※ 한 꼭짓점에 정삼각형이 6개 이상 모이면 각의 크기의 합은 360도 이상이 되므로 입체도형을 만들 수 없습니다.
(2) 각 면이 정사각형인 경우.
① 한 꼭짓점에 모인 정사각형이 3개:
정사각형의 한 내각의 크기는 90도이므로 한 꼭지점에 정사각형이 3개가 모이면 각의 크기의 합은 270도이기 때문에 입체도형을 만들 수 있어요.
아래의 그림처럼 정육면체가 됩니다.
※ 한 꼭짓점에 모인 정사각형이 4개 이상 모이면 각의 크기의 합은 360도 이상이 되므로 입체도형을 만들 수 없습니다.
(3) 각 면이 정오각형인 경우.
① 한 꼭짓점에 모인 정오각형이 3개:
정오각형의 한 내각의 크기는 108도이므로 한 꼭지점에 정오각형이 3개 모이면 각의 크기의 합은 324도이므로 입체도형을 만들 수 있습니다.
( 참고: 정오각형의 한 내각의 크기=$\frac{180^{\circ}\times (5-2)}{5}=\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$ )
[이전 글 보기] - 다각형의 내각의 크기의 합 구하는 방법, 정다각형의 한 내각의 크기(공식)
아래의 그림처럼 정십이면체가 됩니다.
※ 한 꼭짓점에 모인 정오각형이 4개 이상 모이면 각의 크기의 합은 360도 이상이 되므로 입체도형을 만들 수 없습니다.
(4) 각 면이 정육각형, 정칠각형, 정팔각형 ··· 인 경우
다시 한번 정리하면, 다면체는 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개 이상이어야 하고,
한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360도 보다 작아야 해요.
그러므로 정다면체를 이루는 정다각형의 한 내각의 크기는 $\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$보다 작아야 하기 때문에 각 면이 정육각형, 정칠각형, 정팔각형 ··· 인 경우는 입체도형이 될 수 없습니다.
예) 정칠각형의 한 내각의 크기는 약 128도 이므로 한 꼭짓점에 세 면이 모인다고 하면 각의 크기의 합은 약 128×3=384도 이므로 입체도형이 될 수 없겠죠?
( 참고: 정칠각형의 한 내각의 크기=$\frac{180^{\circ}\times (7-2)}{7}=\frac{900^{\circ}}{7}=128.571428\cdots$ )
※ 별해)
전공수학- 이산수학(그래프)
정리) 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류뿐이다.
증명 간단히)
v=꼭짓점의 개수,
e=모서리의 개수,
f=면의 개수,
한 꼭짓점에 모인 면의 개수=r (r≥3)
정다면체의 한 면의 모양=정n각형(n≤5)
- rv=2e , $v=\frac{2}{r}e$
- nf=2e , $f=\frac{2}{n}e$
- 오일러공식: v-e+f=2 , $\frac{2}{r}e-e+\frac{2}{n}e=2$
(1) r=3, n=3
v-e+f=2
$\frac{2}{3}e-e+\frac{2}{3}e=2$ , e=6
$v=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 6=4$
$f=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 6=4$ , 정사면체
(2) r=3, n=4
v-e+f=2
$\frac{2}{3}e-e+\frac{2}{4}e=2$, e=12
$v=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 12=8$
$f=\frac{2}{4}e=\frac{2}{4}\times 12=6$ , 정육면체
(3) r=3, n=5
v-e+f=2
$\frac{2}{3}e-e+\frac{2}{5}e=2$ , e=30
$v=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 30=20$
$f=\frac{2}{5}e=\frac{2}{5}\times 30=12$ , 정십이면체
(4) r=4, n=3
v-e+f=2
$\frac{2}{4}e-e+\frac{2}{3}e=2$ , e=12
$v=\frac{2}{4}e=\frac{2}{4}\times 12=6$
$f=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 12=8$ , 정팔면체
(5) r=5, n=3
v-e+f=2
$\frac{2}{5}e-e+\frac{2}{3}e=2$ , e=30
$v=\frac{2}{5}e=\frac{2}{5}\times 30=12$
$f=\frac{2}{3}e=\frac{2}{3}\times 30=20$ , 정이십면체
| 정다면체 | 정사면체 | 정육면체 | 정팔면체 | 정십이면체 | 정이십면체 |
| 면의 모양 (n) | 정삼각형 | 정사각형 | 정삼각형 | 정오각형 | 정삼각형 |
| 한 꼭짓점에서 만나는 면의 수 (r) | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
| 꼭짓점의 수 (v) | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| 모서리의 수 (e) | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| 면의 수 (f) | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
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